Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

2.7. Қатор яқинлашишининг Раабе аломати.

Юқорида кўрсатилган содда аломатлар жавоб бермаган ҳолларда, мураккаброқ, текширилаётган қаторни бошқа стандарт қаторлар, жумладан, прогрессияга нисбатан “секин” яқинлашувчи ва “секин” узоқлашувчи қаторлар билан таққословчи аломатга мурожаат қилишга олиб келади. Биз қуйида ўрганаётган Раабе аломати берилган қаторни гармоник қатор билан таққослайди.

Теорема (Раабе аломати). Агар (5) мусбат ҳадли қаторда n→∞ да

ифода чекли лимитга эга бўлса, яъни
(24)
бўлса, у ҳолда: a) да қатор яқинлашади; б) да қатор узоқлашади.
Д’Aламбер ва Раабе аломатларини таққосласак, Раабе аломати кучлироқ эканини кўрамиз.
12-мисол. Қуйидаги қаторни яқинлашишга текширинг: .
Ечиш. Дастлаб қаторни Д’Aламбер аломати билан текширайлик:

Д’Aламбер аломати ёрдамида берилган қаторнинг яқинлашиши ёки узоқлашиши ҳақида хулоса чиқара олмаймиз. Шу сабабли қатор яқинлашишини Раабе аломати ёрдамида текширамиз:

Демак, қатор яқинлашувчи экан.


Мустақил ишлаш учун топшириқлар:


1. Қуйидаги қаторларни таққослаш аломати ёрдамида яқинлашишини текширинг.
1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16) 17) 18)
19) 20) 21) 22)
23) 24) 25)


2. Қатор яқинлашишини Д’Aламбер аломатига кўра текширинг.
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) ; 20)
21) 22) 23) 24) 25)