Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

2.5. Қатор яқинлашишининг (Маклорен-Кошининг) интеграл аломати.

Т е о р е м а(сонли қатор яқинлашишининг интеграл аломати). Агар (5) қаторнинг ҳадлари мусбат ва ўсмайдиган бўлса, яъни тенгсизлик ўринли бўлса ва f(x) функция учун , , _,… , ,… тенгликлар ўринли бўлса, у ҳолда:

1) агар хосмас интеграл яқинлашса, қатор яқинлашувчи;
2) агар хосмас интеграл узоқлашувчи бўлса, қатор узоқлашувчи булади.
И с б о т и. Юкоридан эгри чизиқ билан чегараланган, асослари ва гача бўлган, бунда – ихтиёрий бутун мусбат сон, эгри чизикли трапецияни қараймиз. Бу трапецияга асослари [1,2], [2,3], …,[n-1,n ] кесмалардан иборат ички ва ташки зинапоясимон туртбурчаклар чизамиз, бунда функциянинг
, , _,… ,
қийматлари ички чизилган тўртбурчакларга,
, , _,… ,
қийматлари эса, ташқи чизилган тўртбурчакларга баландлик бўлиб хизмат қилади.
Қуйидаги белгилашларни киритамиз:
- қаторнинг -хусусий йиғиндиси, - эгри чизикли трапециянинг юзи, - мос равишда ички ва ташки чизилган зинапоясимон шаклларнинг юзлари.
, = экани равшан. Шаклдан
(18)
эканлиги келиб чиқади, бунда

Шундай килиб, (18) тенгсизликни бундай ёзиш мумкин:

ёки

Бундан иккита тенгсизликка эга буламиз:
(19)
(20)
функция мусбат, шу сабабли нинг ортиши билан интеграл хам катталашиб боради. Икки ҳол бўлиши мумкин:
1) хосмас интеграл яқинлашувчи, яъни
=
интеграл чекли сонга тенг булсин. У ҳолда ва (19) тенгсизликдан ҳар қандай да эканлиги келиб чикади. Шундай килиб, бу ҳолда хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги чегараланган ва демак, (5) қатор яқинлашади.
2) хосмас интеграл узоқлашувчи булсин, яъни
=
булсин. (19) тенгсизликдан хусусий йиғиндилар кетма–кетлиги чегараланганлиги келиб чиқади ва демак, (5) қатор узоқлашади.
10-м и с о л. Умумлашган гармоник қатор деб аталувчи
1+
қаторнинг узоқлашувчи ёки яқинлашувчи эканини топинг.
Е ч и ш. функциянинг дан иборатлиги равшан, бунда -берилган сон. Ушбу

хосмас интегрални хисоблаймиз.
Агар бўлса, у ҳолда =0 ва - яқинлашувчи.
Агар бўлса, у ҳолда ва узоқлашувчи.
Агар бўлса, у ҳолда - узоқлашувчи.
Шу сабабли умумлашган гармоник қатор да яқинлашувчи,
да узоқлашувчи.