Боб – Ночизикли автоматик бошкариш системалари 4 – Маъруза

БОБ – Ночизикли автоматик бошкариш системалари


4 – Маъруза. Ляпунов усули асосида ночизикли системаларни тургунлигининг тахлили.

Фараз киламиз, ночикли системанинг хамма узгарувчилари учун утиш жараёни четланишлари уларнинг баркарор жараёнларининг кийматларига нисбатан дифференциал тенгламалари берилган. У холда n – тартибли чизикли система учун куйидаги тенгламалар системасини ёзишимиз мумкин:

(1)
X₁, X₂, …, X₃ – ночизикларнинг хар кандай куринишини узида мужассамлаштирган ва хар доим куйидаги шартларни:
X₁, X₂, …, X₃ = 0
каноатлантирадиган ихтиёрий функциялар.
Тахлил килиш учун куйидаги тушунчани киритамиз, бу ерда ва кейинчалик куп узгарувчили функция сифатида n улчовли Евклид фазосини куриб чикамиз.
V = V (x₁, x₂, x₃, …, x_n)
Евклид фазоси деб хоссаси абсолют геометрия аксиомалари ва Евклиднинг параллел тугри чизиклар хакидаги (постулати) аксиомаси билан таъриф килинадиган фазога айтилади.
Таъриф: V – функция баъзи бир сохада, агар у шу соханинг хар бир нукталарида бошлангич координата атрофида бир хил ишорали булиб колса ва факат координата бошидан бошка ерда нолга айланса, унинг ишораси аникланган дейилади.
Агар V – функция бир хил ишорани саклаб колса ва факат координата бошидагина эмас балки шу соханинг бошка нукталарида хам нолга айланиши мумкин булса уни доимий ишорали дейилади.
Агар V – функция берилган сохада бошлангич координата атрофида хар хил ишорага эга булса, у узгарувчи ишорали дейилади.
Мисоллар: n = 2 ва булсин. x₁=x₂=0 булганда V=0 ва хар кандай x₁, x₂ - ларда V>0 булади, яъни V ишораси аникланган мусбат функция булади.
Шунга ухшаб, хар кандай n учун функция ишораси аникланган мусбат функция булади.
куринишдаги функция, ишораси аникланган манфий функция булади.
Энди n=3 булган холда куйидаги функцияни куриб чикамиз:

Бу функция энди ишораси аникланган эмас, балки доимий ишорали булади. Чунки у x₁, x₂, x₃ – ларнинг хар кандай кийматларида мусбат булиб колади, лекин нафакат x₁, x₂, x₃ =0 булганда 0 га айланиб колмай, балки x₁, x₂=0 булган холда x₃ нинг хар кандай кийматларида хам доимий ишорали мусбат булади.
V=x+x куринишдаги функцияни куриб чикамиз. Бу функциянинг ишораси узгарувчандир, чунки x=-x тугри чизикнинг унг текислигида хамма нукталар учун у мусбат ва шу тугри чизикнинг чап текислигидаги хамма нукталар учун манфийдир.
Ляпунов функцияси ва унинг вакт буйича хосиласи тушунчасини киритамиз.
Хар кандай функция
V = V (x₁, x₂, x₃, …, x_n)
x₁ = x₂ = … = x_n = 0 булганда айнан нолга айланадиган булса ва унда x₁, x₂,…, x_n катталиклари системанинг утиш узгарувчиларга нисбатан олинган булса ва (1) – тенглама бу система учун куйидагича ёзилиши мумкин булса:
X₁=x₁(t), X₂=x₂(t), …, X_n=x_n(t) уни Ляпунов функцияси дейилади.
Ляпунов функциясидан вакт буйича хосила куйидагича булади:

бу тенглама (1) – тенгламадан ларни кийматини куямиз: