Боб – Ночизикли автоматик бошкариш системалари 4 – Маъруза

X₁, X₂, …, X_n – лардан (1) – системанинг унг кисмлари булиб, берилган функциясидан x₁, x₂, …, x_n – лардан четланишларини курсатади.
Шундай килиб, Ляпунов функциясининг вакт буйича хосиласи хам V – функциясига ухшаб, баъзи бир четланишларнинг функцияси булади:

Ляпунов функциясининг хосиласига юкорида курсатиб утилган ишораси аникланган, доимий ишорали ва узгарувчан ишорали тушунчаларни куллаш мумкин.
Ночизикли системаларнинг тургунлиги тугрисидаги Ляпунов теоремасини исботсиз келтирамиз.
Теорема: Агар (1) – тенглама шаклида берилган n – чи тартибли системаларда шундай ишораси аникланган V(x₁, x₂, …, x_n) Ляпунов функциясини танлаб олиш мумкин булса, унинг вакт буйича хосиласи W(x₁, x₂, …, x_n) хам ишораси аникланган булади, лекин V(x₁, x₂, …, x_n) – да ишораси тескари ишорали булса, у холда бундай система тургун булади.
W – функциянинг ишораси аник булганда система асимтотик тургун булади.
Юкоридаги теорема тургунликнинг факат етарли шартини бериши ва ночизикли система тургунлик сохасидан ташкари бир катор алохида сохаларга эга булиши мумкинлигидан, ночизикли системаларнинг ночизиклигини аниклашда алохида зарурат келиб чикади.
Ночизикли системаларнинг нотургунлигини аниклашда Ляпуновнинг куйидаги теоремасидан фойдаланилади.
Агар (1) – тенглама шаклида берилган n – чи тартибли тенгламалар системасининг W(x₁, x₂, …, x_n) хосиласи Ляпуновнинг бирор V(x₁, x₂, …, x_n) функциясида ишораси аникланган булиб, V – функциянинг узи бирорта соха координата бошига келиб кушилса, унинг ишораси хосила W ишораси билан бир хил булиб, система нотургун булади.