Oddiy differensial tenglamalarning asosiy tushunchalari

Misol. tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:

Uni yechib, va topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari va haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: . Bu xolda . Bitta hususiy yechim ma’lum

Ikkinchi xususiy yechimni shaklda izlaymiz:

Bularni (1.12) ga qo’yib va soddalashtirib

xosil qilamiz.
bo’lganda va - xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganida yoki Uni integrallab ni xosil qilamiz. Xususiy xolda, va deb olish mumkin: .
Demak, ikkinchi xususiy yechim y₂ =xe^{k x} ko’rinishda buladi.
Demak, bu xolda umumiy yechim

ko’rinishida bo’ladi.
3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari va kompleks sonlar bo’lsin:
, ,
.
Xususiy yechimlarni va shaklida yozish mumkin.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Demak, xususiy yechim

bo’lgani uchun , lar (1.12) tenglamaning yechimlari buladi.
Umumiy yechim esa ko’rinishda bo’ladi.

II-BOB. Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglama haqida

2.1. Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar.

2.1-Ta’rif. n- tartibli chiziqli differensial tenglama deb,
(2.1)
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu yerda va lar tenglama qaralayotgan biror sohada aniqlangan, uzluksiz funksiyalar yoki o’zgarmaslardir.
(2.1) tenglama o’ng tomonida turgan funksiya aynan nolga teng ( ) bo’lsa, u holda (2.1) tenglamaga o’ng tomonsiz, yoki bir jinsli, noldan farqli ( ) bo’lganda esa, o’ng tomonli, yoki bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama deyiladi. Demak,
(2.2)
tenglamaga bir jinsli tenglama deyiladi, chunki tenglama chap tomoni larga nisbatan bir o’lchovli bir jinsli funksiyadir.