|
KIRISH
Sharq donishmandlari aytganlaridek, “Eng katta boylik – bu aql-zakovat va ilm. Eng katta meros – bu yaxshi tarbiya. Eng katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir.”
Shavkat Mirziyoyev
O’zbekiston Respublikasining Oliy Majlisga “Murojatnoma”si dagi nutqidan.
Har bir jamiyatning kelajagi uning ajralmas qismi va hayotiy zaruriyati bo’lgan ta’lim tizimining qay darajada rivojlanganligi bilan belgilanadi. Bugungi kunda mustaqil taraqqiyot yo’lidan borayotgan mamlaktimizning uzluksiz ta’lim tizimini isloh qilish va takomillashtirish, yangi sifat bosqichiga ko’tarish, unga ilg’or pedagogik va axborot texnologyalari joriy etish hamda ta’lim samaradorligini oshirish davlat siyosati darajasigacha ko’tarildi. “Ta’lim to’g’risida”gi qonun va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning qabul qilinishi bilan uzluksiz ta’lim tizimi orqali zamonaviy kadrlar tayorlashning asosi yaratildi.
Fizikaning turli bo’limlarida, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, tibbiyot va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar, hayotiy, amaliy masalalar turli differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Ana shu sababdan ham differensial tenglamalarning umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni yechishdagi tadbiqini o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi.
Differensial tenglamalarning nazariy va amaliy masalalarni yechishdagi tadbiqlari haqida matematik olimlar tomonidan ko’plab darsliklar, monografiyalar, ilmiy maqolalar chop etilgandir. Ular ichida matematik olimlar L.S.Pontryagin, V.V Stepanov, I G.Petrovskiylar tomonidan yaratilgan darsliklarni alohida qayd etish lozim.O’zbek tilida differensial tenglamalar fanidan ilk darslik akademik T .N. Qori-Niyoziy tomonidan o’tgan asrning 40-yillarida yozilgan edi.
I.BOB. Oddiy differensial tenglamalar 1.1 Oddiy differensial tenglamalarning asosiy tushunchalari.
Matematika va uning tatbiqlarining muhim masalalari ni emas, balki uning biror noma`lum funksiyasini topish masalasi qo`yilgan va tarkibida shu bilan birga uning hosilalarini o`z ichiga olgan murakkab tenglamalarni yechishga keltiriladi. Masalan, Erkli o`zgaruvchi ni, noma`lum funksiyani va uning n tartibli hosilasiga qadar hosilalarini bog`lovchi tenglamaga n-tartibli oddiy diffcrcnsial tcnglama deyiladi. Yuqoridayozilgan tenglamalar, mos ravishda, birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli differensial tenglamalardir. Umumiy ko`rinishda n-tartibli differensial tenglama
(1.1)
shaklda yoziladi.
(1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida n marta differensial-lanuvchi har qanday funksiyaga differensial tenglama yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya differensial tenglama yechimi bo`lib, tenglamaning cheksiz ko`p yechimlaridan biridir. Har qanday funksiya ham, bu yerda, с - ixtiyoriy o`zgarmas, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi ko`rinishdan o`zgacha bo`lishi mumkin emasligini aniqlaymiz. Shu ma`noda, funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umumiy yechimda ixtiyoriy o`zgarmas с qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to`plami yagona ixtiyoriy с o`zgarmasga bog`liq deyiladi.
O`zgarmas с ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi.
differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mum-kin: Bu yerda, c1, c2 va c3 ix-tiyoriy o`zgarmaslar bo`lib, ularning har qanday qiymatlarida funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va umumiy yechim bo`lib hisoblanadi. differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o`zgarmasga bog`liq va o`zgarmaslar har birining konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo`ladi.
Yuqoridagi misollardan differensial tenglama umumiy yechimi o`zgarmaslari soni tenglamaning tartibiga teng ekanligini va uning xu-susiy yechimlari umumiy yechimdan o`zgarmaslarining konkret qiy-matlarida kelib chiqishini xulosa qilish mumkin.
Differensial tenglama yechimlarini qurish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deb yuritiladi. Differensial tenglamani integrallab, masalaning qo`yilishiga qarab, uning yoki umumiy yechimi tuziladi yoki xususiy yechimi topiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy yoki hosilaga nisbatan yechilgan
(1.2)
ko`rinishda yozilishi mumkin.
Ushbu tenglamalar ham, odatda, cheksiz ko`p yechimga ega bo`lib, ulardan biror-bir xususiy yechimni ajratib olish qo`shimcha shartni talab etadi. Ko`p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo`yiladi. Koshi masalasi differensial tenglamaning boshlang`ich shartni qanoatlantiravchi yechimini topishdan iborat.
Masala yechimi mavjudlik va yagonalik sharti quyidagi teoremadan aniqlanadi.
Teorema. Agar funksiya boshlang`ich nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo`lsa, u holda nuqtaning shunday bir atrofi mavjudki, ushbu atrofda differensial tenglama uchun boshlang`ich sharth Koshi masalasi ycchimi mavjud va yagonadir.
Differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari tushunchalariga aniqlik kiritamiz.
Agar boshlang`ich nuqtaning berilishi (2) tenglama yechimining yagonaligini aniqlasa, u holda ushbu yagona yechimga xususiy yechim deyiladi. Boshqacha aytganda boshlang`ich shart bir qiymatni aniqlaydigan yechim xususiy yechimdir.
Differensial tenglamaning barcha xususiy yechimlari to`plamiga esa, umumiy yechim deyiladi.
Odatda, umumiy yechim yoki oshkor yoki oshkormas ko`rinishda yoziladi. Boshlang`ich shart asosida с o`zgarmas tenglamadan topiladi.
Tenglamaning umumiy integral) (yoki yechimi) deb, с o`zgarmasning turli qiymatlarida barcha xususiy yechimlari aniqlanadigan munosabatga aytiladi.
Masalan, yechimning mavjudlik va yagonalik teorema shartlari yuqorida ko`rilgan tenglama uchun xy tekislikning har bir nuqtasida bajariladi. Tenglama umumiy yechimi formuladan iborat boiib, har qanday boshlang`ich shart mos сo`zgarmas tanlanganda, qanoatlantiriladi. O`zgarmas с tenglamadan topiladi va .
Differcnsial tenglamani yechish uning umumiy yechimini (yoki umu-miy integralini) topishni anglatadi.
(2) differensial tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini ta`min-laydigan muhim shartlardan xususiy hosilaning uzluksizligidir. Ba`zi bir nuqtalarda ushbu shart bajarilmasligi va ular orqali birorta ham integral chiziq o`tmasligi yoki, aksincha, bir nechta integral chiziqlar o`tishi mumkin. Bunday nuqtalarga differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi.
Differensial tenglamaning integral chizig`i faqat uning maxsus nuqtalaridan iborat bo`lishi mumkin. Ushbu egri chiziqlar tenglamaning maxsus yechimlari deb yuritiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
