Общие сведения предварительные замечания

Дифференциальные уравнения параметрических колебаний. Уравнения параметрических колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы в общем случае могут быть представлены в виде

Где матрица-столбец обобщенных координат; квадратные
матрицы, элементы которых — действительные функции времени. Матрица при всех
является положительно определенной. На матрицы это ограничение не накладывают. Если не оговорено, то все коэффициенты уравнения (1) — непрерывные периодические функции времени с периодом .

Соответствующую этому периоду частоту называют частотой параметрического возбуждения или частотой возбуждения.

Вводя, как и в гл. V, матрицу-столбец фазовых переменных, запишем уравнение

1. 
   в нормальной форме:
   

Здесь матрица размерностью

При периодическом параметрическом возбуждении

Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное решение
, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости (областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами.

2.