Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari

Moddiy nuqtalar sistemasining massalar markaziga nisbatan harakat miqdori momentiningo‘zgarishi haqidagi teorema.

`Avvalgi paragrafdagi (15.13) tenglama sistema harakat miqdorini qo‘zg‘almas o‘qlariga nisbatan bosh momenti haqidagi teoremani ifodalar edi. SHu teoremani birorta qo‘zg‘aluvchi o‘qlariga nisbatan ham to‘g‘riligini ko‘rib chiqamiz. Bu erda qo‘zg‘aluvchi o‘qlar sistemaning boshi sistema massalari markazida bo‘lib, bu markazqo‘zg‘almas o‘qlariga nisbatan ilgarilanma harakat qilayotgan bo‘lsin (15.4-chizma).

Sistemaning harakat miqdori markazga nisbatan bosh moment vektorini hisoblashda uning nuqtalarini murakkab harakatini, ya’ni ular massalar markazi bilan birgalikda ilgarilanma va shu markazga nisbatan qandaydir harakatda qatnashadi deb qaraymiz. U holda quyidagi vektorli tenglikni yozish mumkin:

, (15.15)

15.4-chizma.

bu erda sistemaning nomerli nuktasining radius vektori bo‘lib, qo‘zg‘olmas o‘qlarga nisbatan murakkab harakatini ifodalaydi; massalar markazining radius vektori; sistemaning nomerli nuqtasining radius vektori bo‘lib uning qo‘zg‘aluvchi o‘qlarga nisbatan harakatini ifodalaydi. (15.15) dan vaqt bo‘yicha hosila olamiz:

, (15.16)

bu erda absolyut tezlik , massalar markazining tezligi, massalar markaziga nisbatan bo‘ladigan harakat tezligi.

(15.15) va (15.16) larga asosan sistema harakat miqdorining markazga nisbatan bosh momentini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

yoki

bu erda ikkinchi va uchinchi hadlarini nolga tengligini ko‘rsatamiz, ya’ni

chunki massalar markazi qo‘zg‘aluvchi o‘qlarning boshi uchun qabul qilingan va , u holda bir marta hosila olib quyidagi tenglamani yozish mumkin:

u holda

,

yoki

, (15.17)

bu erda sistemaning massasi; sistemaning harakat miqdorining massalar markaziga nisbatan qiladigan harakatining o‘sha markazga nisbatan bosh moment vektori. Demak, sistema harakat miqdorining qo‘zg‘almas nuqtaga nisbatan bosh moment vektori, sistema massalar markaziga uning barcha massasi yig‘ilgan deb qaralsa, shu markazning harakat miqdorini nuqtaga nisbatan momenti bilan, sistema nuqtalarining massalar markaziga nisbatan qiladigan harakatining harakat miqdori momentlarining yig‘indisidan iborat ekan.

Xuddi shuningdek, tashqi kuchlar bosh momentini ham ko‘rib chiqamiz, ya’ni (15.15) ga asosan

,

yoki

(15.18)

bu erda tashqi kuchlarning bosh vektori, tashqikuchlarning massalar markaziga nisbatan bosh moment vektori. (15.17) va (15.18) tenglamalarga asosan (15.12) ni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

,

bundan va ekanligini hisobga olib, quyidagini yozamiz:

(15.19)

bu erda sistema massalari markazining tezlanishi.

Sistema massalari markazining harakati haqidagi teoremaga asosan, ya’ni bo‘lib, buni vektoriga ko‘paytiramiz

.

Bu tenglamaga asosan (15.19) dan qo‘yidagi tenglamani yozish mumkin:

. (15.20)

Bu tenglama (15.12) bilan bir xil bo‘lib, sistema harakat miqdorining qo‘zg‘almas nuqtaga nisbatan bosh momentining o‘zgarishi haqidagi teorema, uning ilgarilama harakatidagi, qo‘zg‘aluvchi, sistema massalari markaziga nisbatan bosh momentining o‘zgarishi haqidagi teoremalar ham bir xil ekan.