Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari

15-mavzu.

NUQTA DINAMIKASINING UMUMIY TEOREMALARI.

Ma’lumki, harakat miqdori vektor kattalik.Ba’zi hollarda uning momentini ham topishga to‘g‘ri keladi. Harakat miqdorining momenti ham nuqtaga yoki o‘qqa nisbatan moment kabi yoziladi, ya’ni yoki va kuch momenti kabi topiladi, ya’ni , buvektor tekisligiga tik yo‘nalgan bo‘ladi. Uning o‘qqa nisbatan momentini ko‘rib chiqamiz. Faraz qilaylik nuqtaga kuchi ta’sir etsin, vektor bilan kuchlarning momentlari orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz. Qo‘yidagiga asosan, ya’ni

(15.1)

Shu kabi

, (15.2)

Bundan hosila olamiz:

Bu erda birinchi qavs nolga teng bo‘lib,

Yoki bo‘lib

. (15.3)

Teorema. Harakat miqdorining biror o‘qqa nisbatan momentidan vaqt bo‘yicha olingan hosila ta’sir etayotgan kuchlarning o‘sha o‘qqa nisbatan momentiga teng.

Agar bo‘lsa, harakat miqdorining shu o‘qqa nisbatan momenti o‘zgarmas bo‘ladi.

Harakat miqdorining birorta markazga nisbatan momentini ko‘rib chiqamiz. Moddiy nuqtaga kuch ta’sir qilayotgan bo‘lsin, uning nuqtaga nisbatan momenti qo‘yidagicha bo‘ladi,

, (15.4)

sho‘nga asosan

, (15.5)

Hosila olamiz:

Buerda bo‘lib

. (15.6)

Teorema. Moddiy nuqtaning harakat miqdorining biror markazga nisbatan momentidan vaqt bo‘yicha olingan hosila o‘nga ta’sir etayotgan kuchning moment olinayotgan markazga nisbatan momentiga teng.

Agar bo‘lsa , bo‘ladi.

Bo‘nga markaziy kuch misol bo‘la oladi, yuzalar qonunini ko‘rib chiqamiz: faraz qilaylik moddiy nuqta markaziy kuch ta’sirida bo‘lsin, bunda yoki , yoki

Tezlik momentining vektori tezlik vektoriga tik yo‘nalgan ekan, va vektorlar bir tekislikda yotadi (15.1-chizma) va .

Nuqtaning troektoriyasi tekischiziq bo‘ladi. Demak, nuqta shunday tezlik bilan harakatlanadiki, uning nuqtaga nisbatan momenti, ya’ni , demak

15.1-chizma.

;

Buerda ;

Demak,

, (15.7)

Bu yerda yuzaning o‘sish tezligini ifodalaydi va o‘nga sektoria ltezlik deyiladi. Ko‘rilayotgan misolimizda

. (15.8)

Shunday qilib, markaziy kuch ta’siridagi moddiy nuqta tekis chiziq bo‘ylab o‘zgarmas sektoria ltezlik bilan harakatlanadi. Boshqacha aytganda, nuqtaning radius vektori birlik vaqt ichida bir xil yuzalar chizadi, ya’ni (15.8) ni integrallab, qo‘yidaginitopamiz:

,

Bu erda vaqt funksiyasidir.

15.1-macala.Moddiy nuqta markaziy kuch ta’sirida ellips bo‘ylab harakatlanadi. Agar va bo‘lsa, moddiy nuqtaning markazga eng yaqin bo‘lgan nuqtadan o‘tayotgan vaqtdagi tezligini toping (15.2-chizma).