Nuqta dinamikasining umumiy teoremalari

Yechish. kuch doimo nuqta orqali o‘tib, va teoremaga asosan

yoki

bulardan

15.2-chizma.

yoki

bundan .

Sistema harakat miqdorining momenti (kinetik momenti)

haqidagi teorema.

Berilgan markazga yoki o‘qqa nisbatan sistema harakat miqdorining bosh momenti deb, har bir moddiy nuqtaning harakat miqdorining momentlarining yig‘indisiga aytiladi, ya’ni

. (15.9)

Buni o‘qlardagi proeksiyasi qo‘yidagicha, ya’ni

(15.10)

Sistema aylanma harakatda bo‘lsin, u holda (15.3-chizma), bu erda ; Bu holda ;

bu erda inersiya momenti . Demak,

. (15.11)

15.3-chizma.

Aylanish o‘qiga nisbatan harakat miqdorining bosh momenti uning shu o‘qqa nisbatan inersiya momenti bilan aylanish burchak tezligining ko‘paytmasiga teng ekan.

Sistemaning birorta nomerli nuqtani ajratib olamiz, uning massasi , tezligi , ta’sir qiluvchi kuchlar , bo‘lsin. Moddiy nuqta uchun harakat miqdori haqidagi teorema quyidagicha, ya’ni

buni sistemaning nomerli nuqtasi uchun yozamiz, ya’ni

bu tenglamani sistemaning barcha nuqtalari uchun yozamiz va ularning yig‘indisi qisqa yozuvdan foydalanganda quyidagicha bo‘ladi:

bu erda

bo‘lib, yuqoridagi tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

(15.12)

Demak, sistema harakat miqdorining biror markazga nisbatan bosh moment vektorining vaqt bo‘yicha hosilasi o‘nga ta’sir qilayotgan tashqi kuchlar bosh vektoridan o‘sha markazga nisbatan olingan momentiga teng. (19.22) tenglama sistema harakat miqdori bosh momenti haqidagi teoremani ifodalaydi. (19.22) ni Dekart koordinata o‘qlaridagi proeksiyasini yozamiz:

(115.13)

bu erdagi va hokazo .

Demak, sistema harakat miqdorining birorta o‘qqa nisbatan bosh moment vektorining vaqt bo‘yicha hosilasi, o‘nga ta’sir qilayotgan tashqi kuchlardan o‘sha o‘qqa nisbatan olingan momentlar yig‘indisiga teng.

Xususiy hol. 1. Tashqi kuchlarning bosh vektoridan birorta markazga nisbatan olingan moment nolga teng bo‘lsin, ya’ni u holda

, (15.14)

Demak, bu holda sistema harakat miqdorining biror markazga nisbatan olingan bosh moment vektori o‘zgarmas ekan.(15.14) tenglama sistema harakat miqdorining biror markazga nisbatan bosh momentining saqlanish qonuni ifodalaydi.

2. Tashqi kuchlarning bosh vektoridan birorta o‘qiga nisbatan olingan moment nolga teng bo‘lsin, ya’ni u holda

,

Demak, bu holda sistemaning harakat miqdorining birorta o‘qqa nisbatan bosh momenti o‘zgarmas ekan.