Nostandart tenglamalarni yechishning ba`zi usullari

2-misol. aning har bir qiymati uchun tenglama haqiqiy ildizlari sonini toping.
Yechish. funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. bo‘lganligi sababli, f(x)funksiyax<3ada kamayuvchi, x>3ada o‘suvchi bo‘lib, x=3anuqtada lokal maksimumga ega bo‘ladi. Funksiyaning shu nuqtadagi qiymatif(a)=81a⁴-4a27a³-2=-3a⁴-2<0va .Shu sababli f(x)=0tenglama (-;3a) va (3a;+() oraliqlarda bittadan ildizga ega. Demak, berilgan tenglama a ning ixtiyoriy qiymatida ikkita ildizga ega bo‘ladi.
3-misol. aning har bir qiymati uchun 2x³-3ax²+1=0 tenglama haqiqiy ildizlari sonini toping.
Yechish. f(x)=2x³-3ax²+1 funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. Bu funksiyaning hosilasini topamizf’(x)=6x²-6ax=6x(x-a). Funksiyaning statsionar nuqtalari x=0, x=alardan iborat. Bunda uch hol bo‘lishi mumkin. 1-hol: a=0, bu holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. 2-hol: a<0, bu holda x(-;a) da f’(x)>0, demakf(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x(a;0) da f’(x)<0, f(x)funksiya kamayuvchi bo‘ladi;x(0;+) daf’(x)>0, f(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya x=a<0 nuqtadaf(a)=-a³+1>1 lokal maksimumga, x=0 nuqtadaf(0)=1 lokal minimumga yerishadi. Bundan, agar a<0 bo‘lsa, tenglama yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. 3-hol: a>0, x(-;0) daf’(x)>0, demakf(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x(0;a) daf’(x)<0, f(x)funksiya kamayuvchi bo‘ladi;x(a;+) daf’(x)>0, f(x)funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya x=anuqtadaf(a)=-a³+1 lokal minimumga, x=0 nuqtada f(0)=1 lokal maksimumga yerishadi. Agar 0<a<1 bo‘lsa, u holda f(a)>0 bo‘lib, tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. Agar a>1 bo‘lsa, u holda f(a)<0 bo‘lib, tenglama uchta turli yechimga ega bo‘ladi. Agar a=1 bo‘lsa, u holda f(a)=0 bo‘lib, berilgan tenglama uchta, lekin ikkitasi ustma-ust tushadigan ildizga ega bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan tenglama a<1 da bitta haqiqiy yechimga, a=1 da ikkitasi ustma-ust tushuvchi uchta ildizga, a>1 da turli uchta ildizga ega bo‘ladi.