Nomanfiy butun sonni natural songa bo`lishning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Yig`indini va ko`paytmani songa bo`lish qoidarining to`plamlar nazariyasi bo`yicha ma'nosi. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi

36-mavzu. Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish:

Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi. Pеano aksiomalari. Matematik induksiya.

Key words		Ключевые понятия	Kalit so’z
Axiomatic method		Аксиоматический метод	Aksiomatik metod
Peano axioms		Аксиомы Пеано	Peano aksiomalari
Method of maths induction		Метод математической индукции	Matematik induksiya metodi
Indefinite conceptions		Неопределяемые понятия	Ta’riflanmaydigan tushunchalar
Definite conceptions		Определяемые понятия	Ta’riflanadigan tushunchalar
Theory		Теория	Nazariya
Logical thought		Логическое мышление	Mantiqiy fikrlash
Axiomatic system model		Модель аксиоматических систем	Aksiomalar sistemasi modeli
Deductive statement		Дедуктивное высказывание	Deduktiv mulohaza
Induction statement	Индуктивное высказывание			Induktiv mulohaza

Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'rifi. Qo`shish qonunlari.

Ma’ruza mashg’ulotining rejasi:

1. 
   Natural sonlarni qo’shish va uning xossalari.
   
2. 
   Qo’shish jadvalini tuzish
   

Ma’ruza matni

Natural sonlarni qo’shish va uning xossalari. Qo’shish amalining ta’rifi German Grossman (1809—1877) tomonidan berilgan qo’shish amalining induktivlik ta’rifiga asoslanadi. Bu ta’rif ikki qismdan iborat bo’lib, quyidagicha:

1) ixtiyoriy a natural songa 1 ni qo’shish, bevosita a dan keyin keladigan sonni beradi. Ya’ni (∀a∈N) (a + 1 = a’).

2) a + b’ amali, a songa bevosita b sondan keyin keladigan b’ sonni qo’shish natijasida a + b sondan bevosita keyin keladigan natural (a + b)’ sonni beradi. Ya’ni(∀a, b∈N)[(a + b)’ = = (a + b) + 1].

Peanoning ikkinchi aksiomasidan ma’lumki, n — natural son bo’lsa, n + 1 ham albatta natural son bo’ladi. Bunda a va a + b lar natural son bo’lganda a + b’= (a + b)’ ham natural son bo’lishi kelib chiqadi. Shuningdek, a + 1 = a’ dan Peanoningaksiomasiga asosan a natural son bilan b natural sonning yig’indisi toia aniqlangan va natural sondan iborat bo’ladi.

Demak, qo’shish amali natural sonlar to’plamida hamma vaqt bajariladigan bir qiymatli amal ekan.

Natural sonlarni qo’shish ta’rifidan ko’rinadiki, har qanday natural son o’zidan oldingi natural son bilan birning yig’indisiga teng bo’lar ekan. Ya’ni

bo’ladi. Natijada biz 1 ni qo’shish jadvalini hosil qildik. Endi 2 ni qo’shish jadvalini tuzaylik:

Demak, 2 ni qo’shish jadvali:

3 ni qo’shish jadvalini tuzsak:

Xuddi shu yo’l bilan bir xonali sonlarni qo’shish jadvalini tuzishimiz mumkin. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, agar natural sonlar qatorida a dan bevosita keyin keladigan b ta sonni sanasak, natijada oxiri sanalgan son a va b sonlarning yig’indisi bo’ladi va u a + b ko’rinishda belgilanadi. Bunda a — birinchi qo’shiluvchi, b — ikkinchi qo’shiluvchi, a + b esa yig’indi deb yuritiladi.

Qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:

1°. Guruhlash (assotsiativlik) xossasi.

(∀a, b, c∈N)[(a + b+c) = a + (b + c)].

Bu xossani matematik induksiya metodi yordamida isbotlaylik.

Isbot. 1) c = 1 bo’lsin. U holda (a + b) + 1 = a + (b + 1) (ta’rifga asosan).

Demak, c = 1 uchun guruhlash xossasi o’rinli.

2)c = n uchun (a + b) + n = a + (b + n) o’rinli deb faraz qilaylik.

3) c = n + 1 uchun bu xossaning to’g’riligini isbotlaylik.

(a + b) + (n +1) = [(a + b) + n] + 1 =(ta’rifga asosan).

= [a + (b + n)] + 1 = (farazga asosan)

= a + [(b + n) + 1] = (ta’rifga asosan)

a = [b + (n + 1)] (ta’rifga asosan).

Demak, (a + b) + (n + 1) = a + [b + (n + 1)].

Peanoning 4-aksiomasiga asosan, (a + b) + c = a + (b + c)ekanligi kelib chiqadi.

2°. O’rin almashtirish (kommutativlik) xossasi.

(∀a, b∈N) (a + b = b + a).

Bu xossani ham matematik induksiya metodidan foydalangan holda isbotlaymiz.

Isbot. 1) a=1bo’lsa, 1 + b = b + 1bo’lishini isbotlaylik. b = 1 bo’lsa, 1 + 1 = 1 + 1 bo’ladi. Demak, b = 1 uchun 1 + b = b + 1 tenglik to’g’ri.

b = n uchun 1 + n = n + 1 to’g’ri deb faraz qilaylik. b = n + 1 uchun 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1 to’g’riligini isbotlaymiz.

1 + (n + 1) = (1 + n) + 1 = (ta’rifga asosan)

= (n+1)+1(farazga asosan).

Demak, 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1 bo’ladi.

Endi yuqoridagi xossa ∨a∈N uchun o’rinli ekanligini isbotlaylik.

a = 1 uchun o’rinli ekanligini ko’rdik. a = m uchun m + b = b + m deb faraz qilaylik.

a = m + 1 uchun (m + 1) + b= b+(m+ 1) ekanligini isbotlaylik. U holda(m + 1) + b = m + (1 + b) = m + (b + 1) = (l°-xossaga asosan)

= (m + b) + 1 =(ta’rifga asosan)

= (b + m) + 1 = b + (m + 1) (farazga asosan).

Demak, a + b = b + a(4-aksiomaga asosan).

Savol va topshiriqlar:

1. 
   Natural sonlarni qo’shish ta’rifini ayting.
   
2. 
   Natural sonlarni qo’shish xossalarini ayting va asoslang.
   
3. 
   32 + 46 = (30 + 2) + (40 + 6) =(30 + 40) + (2 + 6) = 70+8 = 78 ning yechilishini tushuntiring.
   

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(73-81 betlar)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

2. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (143-148 betlar)
   

48-amaliy mashg`ulot. Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'riflari. Qo`shish qonunlari.

Reja:

1. Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'riflari.

2. Qo`shish amalining qonunlari.

3. Misollar yechish.

Qo‘shish aksiоmalari

1) Natural sоnlar to‘plamini qo‘shish aksiоmalari asоsida qurish.

N natural sоnlar to‘plami uchun aksiоmalar sistеmasini turli usullar bilan qurish mumkin. Asоsiy tushunchalar uchun sоnlar yig‘indisi yoki tartib munоsabati yoki bir sоn kеtidan bеvоsita ikkinchi sоn kеlish munоsabati kabilarni оlish yordamida tuzish mumkin. Harbir hоl uchun asоsiy tushunchalar хоssalarini ifоdalоvchi aksiоmalarni bеrish lоzim. Biz asоsiy tushuncha dеb qo‘shish amalini оlib aksiоmalar sistеmasini bеramiz. Agar bo‘sh bo‘lmagan N to‘plamda quyidagi хоssalarga ega qo‘shish dеb ataluvchi (a;b) a+b binary algеbraik amal aniqlangan bo‘lsa, N to‘plamga natural sоnlar to‘plami dеyiladi (bunda a+b sоnni a va b sоnlarning yig‘indisi dеymiz).

1) qo‘shish kоmmutativ, ya’ni a N va b N bo‘lsa, u hоlda a+b=b+a;

2) qo‘shish assоtsiativ; ya’ni a N, b N, c N bo‘lsa, u hоlda a+(b+c)=(a+b)+c;

3) iхtiyoriy ikki a va b natural sоnlari uchun a+b yig‘indi a sоnidan farqli a+b a;

4) N to‘plamning bo‘sh bo‘lmagan iхtiyoriy A to‘plam оstida shunday a sоni mavjudki, a sоnidan farqli barcha х A sоnini х=a+b shaklida yozish mumkin, bunda b N;

1– 4 aksiоmalar sistеmasi, natural sоnlar arifmеtikasini qurish uchun yеtarli.

№1. O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, ushbu sonlarning yig‘indisini toping:

1) 27+39+13+11 2) 38+94+12+16

3) 49+29+87+31+51+13 4) 18+39+27+12+23

5) 54+28+13+12+16 6)116+37+14+43

7) 357+89+43+111 8) 254+87+46+53

9) 1528+457+272+543 10) 244+97+25+156+103

№2. O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, quyidagi misollarni eng qulay yo‘l bilan yeching:

2608+529+392+271

1016+704+250+884+296

10556+8074+ 9444+926+1000

1720+863+280+137

1927+798+465+202+473+135

13075+931+1064+2069+10025+2036
№3. Quyidagi yig‘indilarini ikki usul bilan toping:

4098+(1765+7902)

7505+(12078+9067)

15713+(4987+3751+7399)

10087+(3445+5684+7889)

№4. Quyidagilarni qo‘shing:

1+1 1+0

270+1 1+1473+0+830

0+1 0+1+0+2+0

0+0+0 5386+0+714+0

1+102 7806+(0+894)

№5. 1) O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, 13+27+40 dan iborat yig‘indini turli usullar bilan (turli ko‘rinishlarda) yozing.

O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, a+b+c yig‘indisini turli usullar bilan yozing.

№6. Quyidagi misollarni yeching va nima uchun bunday natija chiqishini tushintirib bering:

1. 
   (86+44)+ (86-44)
   
2. 
   (86+44)- (86-44)
   
3. 
   (86+20)+(86-20)
   
4. 
   (86+20)-(86-20)
   
5. 
   (100+44)+(100-44)
   
6. 
   (100+44)-(100-44)
   

№7. O`rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, ushbu sonlarning yig`indisini toping:

1. 
   27+39+13+11 38+94+12+16
   
2. 
   49+29+87+31+51+13 18+39+27+12+23
   
3. 
   54+28+13+12+16 116+37+14+43
   
4. 
   357+89+43+111 254+87+46+53
   
5. 
   1 528+457+272+543 244+97+25+156+103
   
6. 
   367+89+13+321 254+87+46+53
   
7. 
   244+97+25+156+103
   

1-variant.

Aksiomatik yondoshuv asosida 4va5 ni taqqoslang.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 4+5 ni son o`qida tushuntiring.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 4 ga qo`shish jadvalini tuzing.

2-variant.

Aksiomatik yondoshuv asosida 6va5 ni taqqoslang.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 6+5 ni son o`qida tushuntiring.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 6 ga qo`shish jadvalini tuzing.

3-variant.

Aksiomatik yondoshuv asosida 4va7 ni taqqoslang.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 7+4 ni son o`qida tushuntiring.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 7 ga qo`shish jadvalini tuzing.

4-variant.

Aksiomatik yondoshuv asosida 8va5 ni taqqoslang.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 8+5 ni son o`qida tushuntiring.

Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 8 ga qo`shish jadvalini tuzing.

37-mavzu Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'rifi. Qo`shish qonunlari.

Key words	Ключевые понятия	Kalit so’z
The addition operation	Операция сложения	Qo’shish amali
Axiomatic definition	Аксиоматическое определение	Aksiomatik ta’rif
The addition laws	Законы сложения	Qo’shish qonunlari
The table of addition	Таблица сложения	Qo’shish jadvali
Inductive definition	Индуктивное определение	Induktiv ta’rif
Item	Слагаемое	Qo’shiluvchi
The second item	Второе слагаемое	Ikkinchi qo’shiluvchi
Sum	Сумма	Yig’indi
Grouping	Группировка	Guruhlash
Rearrangement	Перестановка	O’rin almashtirish

Nomanfiy butun sonlarni ko`paytirish amalining aksiomatik ta'rifi. Ko`paytirish qonunlari.

Ma’ruza mashg’ulotining rejasi:

3. 
   Nomanfiy butun sonlar ko`paytmasi, uning mavjudligi va yagonaligi.
   
4. 
   Nomanfiy butun sonlar ko`paytmasining xossalari.
   
5. 
   Ko`paytirish jadvalini tuzish
   

Ma’ruza matni

Natural sonlarni ko’paytirish amali ta’rifi va xossalari. Harbiri a ga teng bo’lganb ta natural son yig’indisi_{ }nitopish talab qilingan bo’lsin. Bunday ko’rinishdagi yigindini hisoblash ko’p hollarda amaliy jihatdan qiyinchilik tug’diradi. Shuning uchun bir xil qo’shiluvchilar yig’indisini topishni osonlashtirish maqsadida yangi amal kiritiladi. Bu amal ko’paytirish amali deb yuritiladi.

Ta’rif. Har biri a ga teng bo’lgan b ta qo’shiluvchining yig’indisini topishga ko’paytirishamali deyiladi.

U a×b yoki a • b ko’rinishda belgilanib, a sonining b soniga ko’paytmasi deb ataladi.

Demak, a • b=_{ }. Bunda a• b — ko’paytma, a, b —ko’paytuvchilar deb yuritiladi.

Ko’paytirish amalining aksiomatik ta’rifi quyidagicha:

Ta’rif. a natural sonining b natural soniga ko’paytmasi deb, shunday algebraik operatsiyaga aytiladiki, unda

1) a • 1 = a,

2) a•(b+1) = a•b + a bo’ladi.

Bu ta’rif yordamida bir xonali sonlar uchun ko’paytirish jadvalini tuzishimiz mumkin.

Masalan, a) 2 ni ko’paytirish jadvalini tuzaylik:

b) 3 ni ko’paytirish jadvalini tuzaylik:

Ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega.

1°. Distributivlik xossasi ( c h a p d a n ). a • (b + c) = = a • b + a • c, ya’ni natural sonning boshqa ikki natural son yig’indisiga ko’paytmasi, shu sonning har bir qo’shiluvchi bilan ko ‘paytmasining yig ‘indisiga teng.

Isbot. Bu xossani isbotlashda matematik induksiya metodidan foydalanamiz.

c = 1 uchun a •(b + 1) = a • b + a •1 = a - b + a to’g’ri bo’ladi.

c = n uchun a • (b + n) = ab + an to’g’ri deb faraz qilamiz.

c = n + 1 uchun bu xossaning to’g’riligini isbotlaymiz.

a•(b + n + 1) = a • [(b + n) + 1] = a(b + n) + a • 1 =[ta’rifga asosan) = ab + an + a = [farazga asosan) = ab + a(n + 1) = [ta’rifga asosan).

Demak, a • (b + c) = ab + acbo’ladi.

2°. Distributivlik xossasi (o’ngdan).(a + b) • c = = a • c +b • c bo’ladi, ya’ni ikkita son yig’indisining uchinchi son bilan ko’paytmasi, har bir sonning uchinchi son bilan ko’paytmasining yig’indisiga teng.

Isbot. Buni matematik induksiya metodi yordamida amalga oshiramiz.

c = 1 uchun (a + b) • c = (a + b) • 1 = a + b = a - 1 + b•1 to’g’ri bo’ladi.

c = n uchun (a + b)•n = a•n + b•n to’g’ri deb faraz qilamiz.

c = n + 1 uchun (a + b) • (n + 1) ni to’g’ri bo’lishini isbotlaymiz.

(a + b)(n+ 1) = (a + b) • n + (a + b) = (ta’rifga asosan)

= an + bn + a + b =(farazga asosan) = an + a+bn + b = (yigindining o’rin almashtirish xossasiga asosan) = a(n + 1) + + b(n + 1) (ko’paytirish ta’rifiga asosan).

Demak, (a + b)(n + 1) uchun yuqoridagi xossa to’g’ri ekan. Bundan (a+b)•c = a•c+b•cbo’ladi.

3°. Ko’paytirishning o’rin almashtirish xossasi. a • b=b • c, ya’ni ko’paytuvchilarning o’rnini o’zgartirish bilan ko’paytma o’zgarmaydi.

Isbot. Bu xossani ham matematik induksiya metodi yordamida amalga oshiramiz.

a + 1 uchun 1 • b = b = b • 1 bo’lib, bu xossa o’rinli bo’ladi.

a = n uchun n• b= b• n deb faraz qilaylik.

a = n + 1 uchun to’g’ri ekanligini isbotlaylik.

a- b = (n + 1)• b = nb + 1 • b =(ko’paytirishning chapdan distributivlik xossasiga asosan) = b • n + b =(farazga asosan) = b•(n + 1) (ko’paytirishning o’ngdan distributivlik xossasiga asosan).

Demak, (h + 1)b = b•(n + 1). Bundan a•b = b•a ekanligi kelib chiqadi.

4°. Ko’paytirishning guruhlash xossasi. (a•b)c=a(b•c) bo’ladi.

Isbot. Bu xossani ham matematik induksiya metodi yordamida isbotlaymiz.

(a•b)•1 = ab = a • (b • 1) to’g’ri bo’ladi.

c = n uchun (a • b)• n = a • (b • n) deb faraz qilamiz. c = n + 1 uchun to’g’riligini isbotlaymiz.

(a • b)•(n + 1) = (a • b) • n + ab = (ko’paytirish ta’rifiga aso- san) = a • (b • n) + a • b =(farazga asosan) = a(b • n + b) = = a(b•(n + 1)) (ko’paytmaning distributivlik xossasiga asosan). Demak, (a • b)(n + 1) = a(b(n + 1)). Bundan (a • b)c = a(b • c).

Natija. Har qanday natural sonning 0 soni bilan ko ‘paytmasi nolga teng.

Haqiqatan ham, 0•a= _{ }= 0.

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Natural sonlarni qo’shish ta’rifini ayting.
   
2. 
   Natural sonlarni qo’shish xossalarini ayting va asoslang.
   
3. 
   Nomanfiy butun sonlar ko`paytmasi ta’rifini ayting, uning mavjudligi va yagonaligi haqidagi fikrni asoslang.
   
4. 
   Nomanfiy butun sonlar ko`paytmasining xossalarini ayting va asoslang.
   

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(73-81 betlar)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (143-148 betlar)
   

49-amaliy mashg`ulot. Nomanfiy butun sonlarni ko`paytirish amalining aksiomatik ta'rifi. Ko`paytirish qonunlari.

Amaliy mashg’ulotining rejasi:

1. Ko`paytirish qonunlari.

2.Misol-masalalar yechish.

Ko‘paytirish amalining хоssalari

1^о. Ko‘paytirish kоmmutativdir:

( a,b  ) ab=ba

Isbоt. a=n(A) va b=n(B), A B= bo‘lsin. Dekart ko‘paytma ta`rifiga ko‘ra

A BB A shunga qaramay, A B=B A deb olamiz (bunda istalgan (a,b)A B juftlikka (b,a)B A juftlik mоs kеltirildi) A B=B A  n(A B)=n(B A), ab=n(A B)=n(B A)=ba  ab=ba
2⁰ Ko‘paytirish assоtsiativdir.

( a, b, c  ) (a b)c= a(bc).

Isbоt: a=n(A)b=n(B), c=n(C) va A,B,C lar jufti-jufti bilan kеsishmaydigan to‘plamlar bo‘lsin, yani .

(ab)c=n((A B) C) va a(bc)=n(A (B C)).

Yuqоridagi dеkart ko‘paytmalar dоirasida o‘zarо bir qiymatli mоslik o‘rnatish yo‘li bilan (A B) C=A (B C) ekanini ko‘rsatish mumkin (kоmbinatоrika bo‘limidagi ko‘paytma qоidasini eslang).

Dеmak (ab)c=n((A B) C)=n(A (B C))=a(bc).
3⁰ Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi

( a,b,c  ) (a+b)c=ac+bc

Isbоti: a=n(A), b=n(B), c=n(C) va A,B,C lar jufti-jufti bilan kеsishmaydigan to‘plamlar bo‘lsin. To‘plamlar nazariyasidan ma’lumki

(A B) C=(A C) (B C) va A B= (A C) (B C)= chunki A C va B C dеkart ko‘paytmalar elеmеntlari 1-kоmpоnеntlari bilan farq qiladi. Shularga asоsan:

(a+b) c=n((A B) C)=n((A C) (B C) = n(A C) + n(B C) = ac+bc

Dеmak, (a+b)c=ac+bc

4⁰ Yutuvchi elеmеntning mavjudligi: (a ) a0=0

Isbоti: a=n(A) 0=n() bo‘lsin. A = ekanligidan a 0=n(A )=n()=0

5⁰ Ko‘paytirishning mоnоtоnligi.

(a,b,c , c0) a>b ac>bc

(a,b,c ) a b acbc

(a,b,c ), c0) a

Isbоti: 1-sini isbоtlab ko‘rsatamiz.

a>b BA₁ A bu yеrda n(A)=a, n(B)=b A₁ A₁A

U hоlda B C(A₁ C)(A C)

Dеmak, n(B C)=n(A₁ C)

6⁰ Ko‘paytmaning qisqaruvchanligi

( a,b,c, , c0) ac=bc a=b

Isbоt: Tеskarisini faraz qilaylik: ab bo‘lsin. U hоlda yoki a, yoki a>b bo‘lishi kеrak. a bo‘lsa, ac bo‘lishi kеrak, bu esa shartga zid. Dеmak, a=bekan.

Ko‘paytmaning yig‘indi оrqali ta’rifi

Ta’rif:a,b bo‘lsin. a sоnningb sоnigako‘paytmasi dеb, harbiriaga tеngbo‘lganb ta qo‘shiluvchiningyig‘indisigaaytiladi.

Bundan a1=a va a0=0 ekanligi kеlib chiqadi.

Bu ta’rif a=n(A), b=n(B), A B=bo‘lgan A B dеkart ko‘paytma elеmеntlarini sanash ma’lum bir qоnuniyatga asоslanishiga bоg‘liq.

Misоl. A={a,b,c,d}, B={x,y,z,t,p}

A B dеkart ko‘paytmani quyidagi jadval ko‘rinishida yozamiz:

Dеkart ko‘paytma elеmеntlarini ustunlar bo‘yicha sanasak, 3 4=3+3+3+3=12 ga ega bo‘lamiz.

1. 
   Tarqatish qonunidan foydalanib ,quyidagi ko’paytmalarni toping?
   

(12+35)∙2 ; (40+7)∙3; 302∙5; 604∙9

2. 
   Ko’paytirish qonunlaridan foydalanib, quyidagilarni eng qulay usul bilan bajaring.?
   

1)2∙13∙5 2)2∙8∙9∙5 3)4∙8∙9∙5∙5

4)25∙7∙4∙11 5)28∙99 6)198∙7

7)495∙8 8)32∙999 9)16∙499

3. 
   Ko’paytmalarni toping?
   

2∙3=6 12∙5=60 12∙8=96 7∙60=420

4∙3 6∙5 12∙16 7∙30

6∙3 4∙5 12∙24 7∙20

10∙3 3∙5 12∙32 7∙15

16∙3 2∙5 12∙40 7∙12

20∙3 1∙5 12∙48 7∙10

13.Ko`rsatilgan amallarni bajaring:

1. 
   78+23•81-69
   
2. 
   78+23•(81-69)
   
3. 
   (78+23) •81-69
   
4. 
   (78+23) •(81-69)
   
5. 
   (10 101+817):53-(10 101-419):47
   
6. 
   1 008-17 119: (119-714:7)
   
7. 
   (43•19-26928:33) • (16 112:53-304)
   
8. 
   128+675-34 125:375
   

14.Quyidigilarni xisoblang:

1. 
   78•29+6 573:313-408
   
2. 
   477•85-7 784:56+ 10 809
   
3. 
   5 871:103+(247-82):5-1
   
4. 
   (395•52-603) •25-960•24
   
5. 
   [28•105+7 236:18-(4 247-1 823):6] •25
   
6. 
   1 092 322:574+152•93-(96•125-82 215:9)
   
7. 
   79 348-64•84:28+6 539:13-11 005
   
8. 
   {37 037 000:[(777 777 •9+7): 4 375+1 900]+8 547}:407
   

1-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 4∙5 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 4 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

2-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 6∙5 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 6 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

3-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 4∙7 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 7 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

4-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 8∙5 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 8 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

5-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 7∙5 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 5 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

6-variant.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 9∙5 ni tushuntiring.

Ko`paytmaning aksiomatik ta’rifi asosida 9 ga ko`paytirish jadvalini tuzing.

38-mavzu. Nomanfiy butun sonlarni ko`paytirish amalining aksiomatik ta'rifi. Ko`paytirish qonunlari.

Key words	Ключевые понятия	Kalit so’z
The operation of multiply	Операция умножения	Ko’paytma amali
The laws of multiply	Законы умножения	Ko’paytirish qonunlari
The multiplication table	Таблица умножения	Ko’paytirish jadvali
Product	Произведение	Ko’paytma
Multiply	Множители	Ko’paytuvchilar
The distributive quality (from the left)	Свойство дистрибутивности слева	Distributivlik xossasi chapdan
The distributive quality (from the right)	Свойство дистрибутивности справа	Distributivlik xossasi o’ngdan
The definition of multiply	Определение умножения	Ko’paytirish ta’rifi
Mathematical induction	Математическая индукция	Matematik induksiya

Nomanfiy butun sonlar ustida arifmеtik amallar bajarishning og`zaki usullari.

Reja:

1.Nomanfiy butun sonlar ustida arifmеtik amallar bajarishning og`zaki usullari.

2. Misol-masalalar yechish.

№ 1 Hisoblang:

1)840+357 ∙ 527+481

2)(840+357) ∙527+481

3)(89+77) ∙47

4)405+451 ∙75-(729-642)

5)79 ∙68+[1400-(777-687) ∙5] ∙96

6)78 ∙607-19 ∙97+904 ∙(2081-1978)

7)805001+[908 ∙307-65 ∙(403-289)]-205 ∙78

№ 2 Bo‘lish amalini bajaring:

1)782:23 2)1134:42 3)8610:246 4)77000:25 5)77500:25 6)142524:321 7)1964800:64 8)7566000:78 9)2458763:307

№ 3 Bo‘lish amalini bajaring:

1)4569855:5 2)4589644:4 3)881227125:5 4)342646125:5

5)98452521:7 6)968136459966:8 7)2598144256:8 8)9865653251000:8

9)3782295:9 10)102546:18 11)1044734:19 12)47949489:49

13)79111159:53 14)202872:79 15)21073165:37 16)4892884:86

№ 4 Hisoblang:

1)(12 ∙15 ∙17):2 2)(22 ∙7 ∙12 ∙):3 3)(32 ∙75 ∙83):4

4)(84 ∙35 ∙18):9 5)(428 ∙75):25 6)(845 ∙48):16

7)(552 ∙68):12 8)(360 ∙215):18 9)(51 ∙399):17

№ 5 Hisoblang:

1)484:4 2)483:7 3)960:(4 ∙6 ∙8) 4)960:30 5)0:25

6)(428 ∙75):25 7)(845 ∙48):16 8)(84 ∙35 ∙18):9

№ 6 Amallarni bajaring:

1)78+23*81-69 2) 78+23*(81-69) 3) (78+23)*81-69

4) (78+23)*(81-69) 5) (10101+817):53-(10101-419):47

6) 1008-17119:(119-714:7) 7)(43*19-26928:33)*(16112:53-304)

8) 128*430-6795+675-34125:375

№ 7 Hisoblang:

1)78*29+6573:313-408 5)(28*105+7236:18-(4247-1823):6)*25

2)477*85-7784:56+10809 6) 1092322:574+152*93-(96*125-82215:9)

3)5871:103+(247-82):5-1 7) 79348-64*84:28+6539:13-11005

4)(395*52-603)*25-960*24 8) (37037000:(777777*9+7):4377+1900)+8547):407

№ 8 Hisoblang:

1)78*507-19*97+927:(2081-1978)

2) 79*68+(1400-(777-687)*5):19

3)25*(28*105+7236:18)-(4217-1823):6*25

№ 9 Hisoblang:

1)1200+420:20-15 5) 3121350-(15125:25+302*804-(3044+2056):17)*9

2)1200+420:(20-15) 6)(110292:14:101+4112-3127)*(1237-23138:23)

3)(1200+420):20-15 7)375*12+(255-37)*102-(3075:15)*42

4)(1200+420):(20-15) 8) 4049*7-7659+64*105-6992:38:23

№ 10 Hisoblang:

1)(5*7):7 4)(2*3*7):(2*3) 7) (2*3*5*7*7):(3*7)

2)(2*3*5):2 5)(2*3*5*5):(2*5) 8)(2*3*5*5*5*7):(3*5*5)

3)(3*7*11*13):13 6)(2*5*11):(2*11) 9)(2*3*3*3*7*11):(3*7*11)

10) (5*5*7*7*13):(7*7*13)

№ 11 Aralash amallarni bajaring:

1)123*129+386852:68-125961:3

2) 2569+125*56-7397:13

3) 12896:4+128965*178-238913745:93

4)1789*12561:3+12986

5) 128*(123+128):8

6) (144*456+256*218):16

7)459*125+23949125:125*(123+1231+

+28*45)

8)(45689*12378+128)*(232968:51-4169)

9)(569+123*73+729:9)+(51*77:11+12-343:7)

10)(1259*1234+45689*56)-10000:125

№ 12 Amallarni bajaring

1. 
   1:1+0:428+428:1 6) (510:17+24)*38-80:4
   
2. 
   20*17+15*18-43310:71 7) (510:17+24)*(38-80:4)
   
3. 
   178-4*(25-13)-40 8) 510:(27+24*38-33*13)
   
4. 
   510:17+14*38-80:4 9)2098*0+1*(207+0:4567)+729:1
   
5. 
   510:17+24*(38-80:4)
   
6. 
   10) (627900:8050+5420635:67)*2558763:307-999600:4900
   

Qulay usul bilan hisoblang

1. 
   21∙18-19∙18+18∙17-17∙16+16∙15-15∙14
   
2. 
   26∙25-25∙24+24∙23-23∙22-12∙8
   
3. 
   18∙36-16∙36+24∙27-25∙24-21∙5
   
4. 
   21∙13+24∙13+45∙12+25∙44-89∙24
   
5. 
   21∙17-18∙17+17∙15-15∙14+18∙13-15∙13
   

6. 
   36∙24-33∙24+17∙11-14∙11+18∙16-15∙16
   
7. 
   27∙23-24∙23+21∙19-18∙19+17∙11-14∙11
   
8. 
   27048∙27044-27047∙27043
   
9. 
   45815∙45818-45814∙45816
   
10. 
    26∙25-25∙24+24∙23-23∙22-19∙5
    
11. 
    249∙250-250∙251+251∙252-253-52∙253
    

Variant № 1	Variant № 2
Qulay usul bilan hisoblang: 222+333+778+667 4930+147 24∙13+24∙13+45∙12+25∙44-89∙24 544∙99 527-489+289	Qulay usul bilan hisoblang: 5800+2222 2∙678150 449∙38 34∙341-19∙341+85∙341 888+999+112+2001
Variant № 3	Variant № 4
Qulay usul bilan hisoblang: 452+623+48+377+1870+145 21∙18+18∙19+18∙17-17∙16+16∙15-15∙14 424∙15 (749+215)-449 4026+2739+3974	Qulay usul bilan hisoblang: 1495+387 864∙55 2584-1234-766 16∙32-20∙16+28∙16 682+497+118+503
Variant № 5	Variant № 6
Qulay usul bilan hisoblang: 3850+450 848000:25 424∙55 2783-1783+783 485+239+515+761	Qulay usul bilan hisoblang: 419+1220 4∙426∙25 96∙34-96∙20+96∙86 428∙98

Nomanfiy butun sonlar ustida arifmеtik amallar bajarishning og`zaki usullari.

Key words	Ключевые понятия	Kalit so’z
Division	Деление	Bo’lish
Multiply	Умножение	Ko’paytirish
proof	Доказатедьство	Isbot
Rule	Правило	Qoida
Unit’s unit	Разряды единиц	Xona birliklari
Feature	Свойство	Xossa
Definition	Определение	Ta’rif
Method	Прием	Usul
units	единицы	birliklar