|
g ( x ) x ning faqat cheklangan sonli manfiy darajalarini o'z ichiga olgan formal Loran qatori bo'lsin va f ( x ) doimiy hadsiz rasmiy darajali qator bo'lsin. Agar g ( x ) ni f ( x ) darajasida kengaytirsak,
[26] g(x)=∑kckfk(x)
keyin koeffitsientlar c n tomonidan beriladi
[27] cn=1n[x−1]g′(x)f−n(x)forn≠0
yoki , muqobil ravishda , tomonidan
[28] cn=[x−1]g(x)f′(x)f−n−1(x)
Bu yerda [ x n ] h ( x ) x n koeffitsientini bildiradi quvvat qatorida h ( x ).
Ushbu teorema qo'lda bo'lsa, ekn [25] ni yechish oson. Biz uni shaklda yozamiz
[29] T(x)exp(−T(x))=x
T(x)=∑n=0∞tnxn/n kengayishdagi koeffitsientlarni bilmoqchimiz ! . [29] ga ko‘ra, T ( x ) x exp (− x ) ning kompozitsion teskarisi bo‘lganligi sababli, x o‘rniga x eksp (− x ) ni qo‘yish hosil bo‘ladi.
x=∑n=0∞tnn!(xexp(−x))n
Bu tenglama f ( x ) = x exp (− x ) va g ( x ) = x bilan [26] ko'rinishda bo'ladi . Demak, [27] orqali biz qo'lga kiritamiz
tnn!=1n[x−1](xexp(−x))−n=1n[xn−1]exp(nx)=nn−1n!
va shunday qilib, t n = n n -1 .
Ushbu bo'limda biz tushuntiradigan funktsional tenglamalarni echishning ikkinchi usuli yadro usulidir. Biz usulni misol bilan tasvirlaymiz. Keling, 2 n uzunlikdagi Dyck yo'llarini hisoblash muammosini ko'rib chiqaylik ("Asosiy kombinator terminologiyasi" bo'limiga qarang). Muammoning yechimiga to'g'ridan-to'g'ri kelishga harakat qilish o'rniga, biz boshlang'ich nuqtadan boshlanadigan (1, 1) va (1, −1) bosqichlardan iborat a n , k yo'l sonini hisoblashning umumiy masalasini ko'rib chiqamiz. , hech qachon y = 0 dan pastga tushmang , uzunligi n ga ega va k balandlikda tugaydi . Keyin F ( u , x ) = ∑ n , k ≥ 0 ikki o'zgaruvchan hosil qiluvchi funktsiyani hosil qilamiz. a n , k x n u k . Keyin biz funktsional tenglamaga ega bo'lamiz
[30] F(u,x)=1+xuF(u,x)+xu(F(u,x)−F(0,x))
chunki yo'l bo'sh bo'lishi mumkin (bu 1 atamani tushuntiradi), u (1,1) qadam bilan tugashi mumkin (bu xuF ( u ) atamasini tushuntiradi) yoki (1, -1) qadam bilan tugashi mumkin. Ikkinchisi, agar oxirgi bosqichdan oldingi yo'l 0 balandlikda tugamagan bo'lsagina sodir bo'lishi mumkin. Bu yo'llar uchun hosil qiluvchi funktsiya F ( u , x ) - F (0, x ) va bu eqn [ dagi uchinchi hadni tushuntiradi. 30]. Aslida, biz [30] ni bilan almashtirishimiz mumkin
[31] F(u,x)=1+xuF(u,x)+xu(F(u,x)−F1(x))
chunki [31] F 1 ( x ) = F (0, x ) ekanligini bildiradi.
Yadro usulining g'oyasi noma'lum F seriyasidan ( u , x ) qutulishdir. Bu mumkin, chunki F ( u , x ) chiziqli ravishda [31] da uchraydi, uni quyidagicha qayta yozish mumkin.
[32] F(u,x)(1−xu−xu)=1−xuF1(x)
F ( u , x ) koeffitsientini oddiygina nolga tenglashtiramiz,
1−xu−xu=0
buni siz uchun hal qiling ,
u=1−1−4x22x
u uchun boshqa yechim [31] da mantiqiy emas) va buni olish uchun [32] ga almashtiring.
F1(x)=1−1−4x22x2
Katalon raqamlari uchun tanish yaratish funksiyasi [2]. Endi bu natijani [31] ga almashtirib, hatto F ( u , x ) toʻliq qatorini ham hisoblashimiz mumkin .
Bu, albatta, Kataloniya raqamlarini hisoblashning murakkab va g'ayrioddiy usuli bo'lsa-da, bu yondashuv turli bosqichlar to'plamiga ega bo'lgan yo'llarni ko'rib chiqishda umumlashtiriladi ("Qo'shimcha o'qish" bo'limidagi Flajolet va Sedgewick ma'lumotnomasining VII.5 bo'limiga qarang). Umumiyroq holatda, funktsional tenglama mavjud
[33] P(F(u,x),F1(x),…,Fk(x),x,u)=0
Bu erda F ( u , x ) chiziqli, shuningdek, noma'lum F 1 ( x ),…, F k ( x ) qatorlari, x va u esa ratsional ravishda paydo bo'ladi. Xuddi shu texnikani qo'llash mumkinligi aniq, ya'ni F ( u , x ) ishtirokidagi barcha atamalarni yig'ish, F ( u , x ) koeffitsientini nolga tenglashtirish , u ni yechish va [33] ga qayta almashtirish. Agar F i ( x ) bir nechta funktsiya mavjud bo'lsa, bu F i ( x ) uchun faqat bitta tenglamani beradi . Biroq, polinom tenglama bo'lgan F ( u , x ) koeffitsientini tenglashtirganda, ko'proq echimlar bo'lishi mumkin. (Bizning misolimizda ham shunday edi, garchi faqat bitta yechimdan foydalanish mumkin edi.) F i ( x ) uchun yana koʻp tenglamalar berish uchun bu yechimlarning barchasini [33] da almashtirish mumkin. Agar bizda noma'lum F i ( x ) funktsiyalarini aniqlash uchun etarli tenglamalar mavjud bo'lsa, yadro usuli ishlaydi (batafsil ma'lumot uchun Flajolet va Sedgewick havolasining VII.5 bo'limiga qarang). "O'jar yadro usuli" variantida ko'proq tenglamalar yanada murakkab usullar bilan ishlab chiqariladi. Usul Buke-Mélou va hamkasblari tomonidan [33] ko'rinishdagi tenglamalarni qamrab olish uchun kengaytirilgan, bu erda P polinom bo'lib, ekn [33] barcha jalb qilingan qatorlarni yagona tarzda aniqlaydi. Ushbu kengaytma, xususan, Braun tufayli kvadratik usul deb ataladigan usulni qamrab oladi, bu Tuttening xaritalarni sanab o'tish bo'yicha ishida katta ahamiyatga ega. Biz o'quvchini Buquet-Mélou va Jehanne (2005) va bu kengaytmalar uchun berilgan havolalarga havola qilamiz.
Kitobni sotib olish bo'limini ko'ring
Bushman-Erdélyi integral va transmutatsiya operatorlari
Elina Shishkina, Sergey Sitnik, Transmutatsiyalar, Singular va Fraksiyali differensial tenglamalar, Matematik fizikadagi ilovalar bilan , 2020
P d ,k g f o'zgarishlar uchun inversiya formulalari (k=1,2)
Mayli
a 0=0, b 0=∞, a 0=1+max[Re( d −1),Re(− d −2)], b 0=∞,
mos ravishda (5.74) va (5.75) operatorlari uchun.
P d ,1 g f uchun inversiya formulalari quyidagi shakllarni oladi:
(5.94) f(x)=− 21− g h‾x( l ‾+1)/h‾−1+ g ddxx−( l ‾+1)/h‾×∫0∞H3,32,1[tx |−( l ‾,h‾),( g + d 2,12),( g − d −12,12)(12,12),(0,12),(− l ‾−1,h‾) ](P d ,1 g f)(t)dt
yoki
(5.95) f(x)= 21− g h‾x( l ‾+1)/h‾−1ddxx−( l ‾+1)/h‾×∫0∞H3,33,0[tx|( g + d 2,12),( g − d −12,12),(− l ‾,h‾)(− l ‾−1,h‾),(12,12),(0,12)](P d ) ,1 g f)(t)dt.
P d ,4 g f uchun inversiya formulalari quyidagi shakllarni oladi:
(5.96) f(x)=− 21− g h‾x( l ‾+1)/h‾−1+ g ddxx−( l ‾+1)/h‾×∫0∞H3,32,1[tx |(− l ‾,h‾),( g −12,12),( g 2,12)(− d 2,12),( d +12,12),(− l ‾−1,h‾) ](P d ,4 g f)(t)dt
yoki
(5.97) f(x)= 21− g h‾x( l ‾+1)/h‾−1ddxx−( l ‾+1)/h‾×∫0∞H3,33,0[tx|( g − 12,12),( g 2,12),(− l ‾,h‾)(− l ‾−1,h‾),(− d 2,12),( d +12,12)](P d ) ,4 g f)(t)dt.
Do'stlaringiz bilan baham: |
