Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli

Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli
Anatoliy S. Yakimov, " Chegaraviy qiymat muammolari uchun analitik yechim usullari" , 2016 y.
Xulosa
Shunday qilib, 10 ⁻² ≤ b ≤ 0,1, 9 ⋅ 10 ³ ≤ A ₆ ≤ 10 ⁶ , A ₆ = 0, berilgan dastlabki ma’lumotlarning keng diapazonida inversiya formulasidan (3.125) foydalanib, | A ₁ |≤ 100, −5000 ≤ A ₃ ≤ 500 nochiziqli chegaraviy masalalarni (3.162)–(3.164) va (3.162), (3.163) va (3.165) modellashtirishning taxminiy analitik yechimi bahosini olamiz.
Kvazilinearizatsiya, lokal bir o'lchovli sxema bo'linishi, Laplas integral o'zgartirish usullari yordamida va aniq misolda samaradorlik bo'yicha berilgan texnologiya sonli yechimdan voz kechmasligi ko'rsatilgan.
Kitobni sotib olish bo'limini ko'ring
Xarakterli funktsiyalar va ularning qo'llanilishi
Mark A. Pinskiy, Samuel Karlin, Stokastik modellashtirishga kirishda (To'rtinchi nashr) , 2011 yil
11.2 Xarakterli funksiyalar uchun inversiya formulalari
Biz birinchi navbatda 11.2 teoremaning isbotini diskret tasodifiy o'zgaruvchilarda ko'rsatamiz, bunda xarakteristik funktsiya cheksiz qator sifatida yoziladi:
ϕ X(t)=∑x ∈ ReitxfX(x).
y ∈ R ni tuzatamiz , kompleks eksponensial e − ga ko'paytiramiz va natija bilan ^–L ≤ t ≤ L oraliqda o'rtachani olamiz .
(11.3) e−ity ϕ X(t)=∑x ∈ Reit(x−y)fX(x)12L∫−LLe−ity ϕ X(t)dt=∑x ∈ R(12L∫−LLeit(x−) y)dt)fX(x)=∑x ∈ RsinL(x−y)L(x−y)fX(x).
(Agar x= y bo'lsa, o'ng tomondagi integral 2 L qiymatiga ega bo'lib, ko'rsatilgan qismning chegaraviy qiymatiga mos keladi.) Xususan, agar X faqat 0, ±1, ±2,... va butun son qiymatlarini qabul qilsa va y butun son bo'lsa, u holda biz L = p ni olamiz va o'ng tomondagi barcha shartlar nolga teng ekanligini e'tiborga olishimiz mumkin, bundan tashqari x = y , butun son. Bundan biz butun sonli tasodifiy o'zgaruvchilar uchun inversiya formulasini olamiz:
(11.4) X ∈ Z ⇒ fX(y)=12 p ∫− pp e−ity ϕ X(t)dt y=0,±1,±2,…
Misol Agar X binomial taqsimotga ega bo'lsa B ( n, p ), u holda
(11.5) s X(t)=∑k=oneitk(nk)pkqn−k=(q+peit) n
Inversiya formulasi (11.4) shaklni oladi
(ny)pyqn−y=12 p ∫− p p e−ity(q+peit) ndt , y=0,1,…,n
(11.4) formuladan de Moivr va Laplasning mahalliy chegara teoremasini isbotlash uchun foydalaniladi.
Misol Agar X ning Puasson taqsimoti P ( l ) bo'lsa, u holda
s X(t)=∑k=0∞eitk l kk !e− l =e l (eit−1)
va inversiya formulasi (11.4) shaklni oladi
(11.6) l yy!e− l =12 p ∫− pp e−itye l (eit−1)dt, y=0,1,2,…
Bu Stirling formulasini isbotlash uchun ishlatiladi.
Umumiyroq diskret tasodifiy miqdor bo'lsa, biz (11.3) L → ∞ chegarasini olishimiz mumkin. O'ng tomondagi shartlar mutlaqo yaqinlashuvchi qator bilan chegaralanadi va x = y ni hisobga olmaganda, nolga moyil bo'ladi , shuning uchun biz diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun inversiya formulasini olamiz:
(11.7) X ∈ D ⇒ fX(y)=limL→∞12L∫−LLe−ity ϕ X(t)dt, y ∈ R
Bu erda D - X ning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami, ∑x ∈ DfX (x)=1 bilan . Formula (11.7) aniq ko'rsatadiki, ϕ _X f _X va shuning uchun F _{X ni} aniqlaydi , chunki FX(x)=∑z≤xfX(x) . Demak, biz 11.2 teoremani umumiy diskret tasodifiy miqdorlarda isbotladik.
X zichlikka ega bo'lganda, biz doimiy holatda shunga o'xshash dalillarni keltira olamiz :
ϕ X(t)=∫−∞∞eitxfX(x)dx.
⁻ ga ko‘paytiramiz va e− s ^2t2 /2 koeffitsienti bilan temperlangan haqiqiy chiziq ustida integrallashamiz — noto‘g‘ri integralning yaqinlashishini ta’minlash uchun; aniq
(11.8) ∫− ∞∞ s X(t)e−itye− s 2t2/2dt=∫−∞∞(∫−∞∞e−it(x−y)e− s 2t2/2dt)fX(x)dx .
Ichki integral 2 p / s × o'rtacha nolga va dispersiya 1/ s ² bo'lgan normal zichlikning xarakteristik funktsiyasidir . Maxsus holatda, s _X haqiqiy chiziq ustida integrallanadigan bo'lsa, biz integrallanuvchi xarakteristikalar uchun Furye inversiya formulasini olish uchun s → 0 chegarasini olishimiz mumkin:
(11.9) ∫−∞∞| s (t)|dt<∞ ⇒ 12 p ∫−∞∞ s X (t)e− itydt =fX(y)