Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli

a t ) va sin( a t ) real funksiyalarining Furye oʻzgarishlari uchun quyidagi taʼriflarni beradi :
(6.30) ℱcos a t= pdō - a + dō + a ℱsin a t= p i dō - a - dō + a .
Xususan, a = 0 ni olib, f ( t ) ≡ 1 doimiy funksiyasining umumiy Furye o‘zgarishi oddiygina 2 pd ( ō ) ekanligini aniqlaymiz. Bu, o'z navbatida, birlik qadam funktsiyasining Furye konvertatsiyasining ta'rifini taklif qilish imkonini beradi. Chunki bizda bor
ut=12+12sgnt
va (6.18) dan bilamizki, 2/ i ō sgn( t ) funktsiyani Furye konvertatsiyasi uchun mos tanlash ma'nosida
sgnt=12 p ∫−∞+∞2i ō ei ʼn td ō .
Shunga ko'ra, agar shunday bo'lsa, biz belgilashimiz kerak
(6.31) ℱut= pdō + 1i ō .
Va nihoyat, biz delta funktsiyalarining davriy poezdlari uchun ba'zi rasmiy "Furye seriyali" kengaytmalarini o'rnatganimizni eslang:
(6.32) ∑n=−∞+∞ d t−nT=1T1+2∑n=1+∞cosn ō 0t=1T∑n=−∞+∞ein ō 0t .
Endi biz ushbu ramziy iboralarni qo'llash uchun Furye konvertatsiyasining ta'rifini kengaytirish imkoniyatini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, d ( t – nT ) ning Furye konvertatsiyasi e ^{− inT ō} bo‘lganligi uchun biz quyidagilarni olishimiz kerak.
(6.33) ℱ∑n=−∞+∞ d t−nT=∑n=−∞+∞e−inT ō ≡∑n=−∞+∞einT ō .
Boshqa tomondan, ein ō 0t ning Furye konvertatsiyasi 2 pd ( ō – n ō ₀ ) va xuddi shunday cos ( n ō ₀ t ) ni p [ d ( ō – n ō ₀ )+ d sifatida hisoblangan. ( n ō ₀ )]. Shunga ko'ra (6.32) da ko'rsatilgan eksponensial va trigonometrik ifodalarning Furye konvertatsiyasi shunday ko'rinadi.
(6.34) ℱ1T1+2∑n=1+∞cosn ō 0t=ℱ1T∑n=−∞+∞ein ō 0t = ō 0∑n=−∞+∞ dō −n ō 0.
Shunday qilib, biz juda muhim natijaga erishamizki, vaqt sohasidagi delta funktsiyalarining davriy poezdining (umumlashtirilgan) Furye konvertatsiyasi chastota sohasidagi delta funktsiyalarining tegishli davriy poezdidir:
(6.35) ℱ∑n=−∞+∞ d t−nT=2 p T∑n=∞+∞ dō −n2 p /T.
bu erda aniqlik uchun biz ō ₀ 2 p / T ni almashtiramiz . Keyinchalik (6.33) va ( _6.34 ) ni taqqoslab, biz hosil bo'lamiz
(6.36) ∑n=−∞+∞ein ō T=2 p T∑n=−∞+∞ dō −n2 p /T
Bu yana chastota domenidagi davriy impulslar poezdining (rasmiy) Furye seriyali tasviri sifatida talqin qilinishi mumkin.
Kitobni sotib olish bo'limini ko'ring
Kombinatorika: umumiy ko'rinish
C. Krattenthaler, Matematik fizika entsiklopediyasida , 2006 yil
Funksiyalarni hosil qilish uchun tenglamalarni yechish: Lagrange inversiya formulasi va yadro usuli
Ushbu bo'limda biz funktsiyalarni yaratish uchun funktsional tenglamalarni echishning ikkita usulini tasvirlaymiz. Lagranj inversiyasi (ba'zi holatlarda) aniq berilgan qator koeffitsientlari uchun aniq ifodalarni topishga imkon beradi. Boshqa tomondan, yadro usuli (va uning kengaytmalari) bilvosita berilgan funktsiya uchun aniq ifodani olishning kuchli usulidir. Biz o'quvchini Flajolet va Sedgewick ("Qo'shimcha o'qish" bo'limidagi ma'lumotnomaning VII.5 bo'limi) qo'shimcha o'qish uchun havola qilamiz.
Ko'pgina hollarda, oxirgi bo'limdagi usullarni qo'llaganimizda, f(x)=∑n=0∞fnxn hosil qiluvchi funktsiya uchun biz hisoblamoqchi bo'lgan funksional tenglamaga ega bo'lamiz. Masalan, t _n n ta tugunli yorliqli ildizli daraxtlar sonini bildirsa va T(x)=∑n=1∞tnxn/n yozsak! , keyin daraxtning to'g'ridan-to'g'ri parchalanishini uning ildiziga va uning ildizga biriktirilgan pastki daraxtlar to'plamiga qo'llash orqali biz tenglamani olamiz.
[25] T(z)=zexp(T(z))
Bunday tenglamani qanday hal qilish mumkin? Aslini olganda, T ( z ) uchun ma'lum funktsiyalar nuqtai nazaridan ifoda yo'q. Biroq, Lagrange inversiya formulasi t _n / n koeffitsientlarini topishga imkon beradi ! ning T ( z ) aniq. Teorema quyidagicha o'qiladi.
Teorema