Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika -matematika fakulteti

Obyekti: Aksiomatik nazariyalar.
Predmeti: Natural sonlar aksiomatik nazariyasi.
O’rganishdan maqsadi: Masala va misollarni yechishda natural sonlar sistemasini ishlatilishini qo’llay olish.
O’rganiladigan vazifalari:
1.Aksiomatik nazariyalarning asosiy xossalari.
2.Formal aksiomatik nazariyalar.
3.Boshlang’ich tushunchalar.
4.Qo’shish va ko’paytirishning xossalari.
5.Natural sonlar sistemasida tartib munosabati
6.Minimallik aksiomasi
Natural sonlar sistemasi uchun yuqoridagilarni o’rganamiz va turli misollar orqali tushunamiz.

1. 
   Turli xil manbaalardan foydalanib, natural sonlar qo’llanishiga doir masalalarni aniqlash
   
2. 
   Masala va misollarni tatbiq orqali yechilishi muhimligini ko’rsatish.
   
3. 
   Misol va masalar yechishda natural sonlarning qo’llanilishi o’rni.
   

Kurs ishini bajarish natijasida matematikaning umuman,shu mavzu bilan bog’liq bo’lgan barcha sohalar rivojiga o’z xissasini qo’shadi.
Matematikada aksiometik metod
Matematikada aksiomatik metod qadimgi yunon matematiklarining ishlarida paydo bo’ldi. Bu borada Yevklidning “negizlar” deb ataluvchi geometrik sistemasi alohida e’tiborga loyiqdir. Yevklidning bu asari XIX asrgacha aksiomatik metodning yuksak namunasi sifatida xizmat qildi. Eramizdan 300 yil oldin yozilgan bu asarda Yevklid birinchi marta aksiomalar deb ataluvchi va rostligi shubha tug’dirmaydigan bir qancha mulohaza (da’vo) lardan sof deduktiv yo’l bilan, ya’ni sof logik (mantiqiy) mulohazalar yordamida geometrik nazariyaning butun mazmunini keltirib chiqarish mumkinligini ko’rsatgan.
XIX asrdabuyuk rus matematigi N.I. Lobocchevskiy va venger matematigi Ya.Bolyan tomonidan neovklid geometriyaning kashf etilishi aksiomatik metodning rivojlanishida yangi pog’ona bo’ldi.
Ular Yevklid geometriyasi aksiomalari sistemasiga kiruvchi (parallel to’g’ri chiziqlar haqidagi) V postuladni uning inkori bilan almashtiridilar va natijada hosil bo’lgan aksiomalarning yangi sistemasi keng mazmunga ega bo’lgan yangi geometriya tashkil etishini ko’rsatdilar.
Shunday qilib, aksiomatik metod matematik nazariyalarni qurish va o’rganishda kuchli apparat ekanligi XIX asr matematiklari tomonidan to’la-to’kis e’tirof etildi va bu aparat matematikada keng ko’lamda qo’llanila boshlandi.
Aksiomatik metodning mazmuni nimadan iborat?
Odatda, qandaydir predmetlar (obyektlar) sistemasini o’rganishda bu predmetlarning hossalari va ular orasidagi munosabatlarni bildiruvchi terminlardan foydalanamiz . lar shunday hossa va munosabatlar bo’lsin. Shu hossa va munosabatlarni o’z ichiga olgan bir necha l\mulohazalarni olamiz hamda ularni aksiomalar deb aytamiz.
Tabiiyki, shunday to’plam mavjud bo’lishi mumkinki, agar larni bu to’plamda aniqlasak, u holda bu to’plam elementlari yuqoridagi aksiomalar sistemasini qanoatlantiradilar. Ba’zi aksiomalar sistemasi uchun bunday (bo’sh bo’lmagan) to’plamlarning topilmasligi ham tabiiydir. Masalan, quyidagi munosabatni olaylik: “ dan oldin keladi”. Bu munosabatni har xil to’plamlarda har xil aniqlash mumkin: odamlar to’plamida “ dan baland”, “ dan yengil”, “ ning yoshi ning yoshidan kichik” va hokazo, natural sonlar to’plamida esa va hokazo. Mazkur munosabatni o’z ichiga olgan quyidagi aksiomalarni olaylik: 5.“Har qanday o’z-o’zidan oldin kelmaydi”. 6.“Har qanday lar uchun agar dan oldin kelsa va dan oldin kelsa, u holda d an oldin keladi”. Ravshanki, shunday bo’sh bo’lmagan to’plam topish mumkinki, agar unda munosabatni yetarlicha “yaxshi” aniqlasak, bu to’plamning elementlari yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiradi (masalan, yuqoridagi keltirilgan to’plamlar va munosabatlar). Bundan tashqari, yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi to’plamlar yagona emasligini sezish qiyin emas. Shunday qilib, har birida bitta munosabat aniqlangan va elementlari 1) va 2) aksiomalarni qanoatlantiruvchi to’plamlar ma’lum bir sinfni tashkil etadi.U holda, bu aksiomalarni mazkur sinfga kirgan to’plamlarning ta’rifi deb qarash mumkin. Barcha obyektlar (predmetlar) to’plamidan 1) va 2) aksiomalar yordamida ajratib olingan. Bunday to’plamlar berilgan aksiomalar sistemasining interpretatsiyasi deyiladi. Biror matematik nazariyani aksiomatik qurish bu nazariyada o’rganiladigan asosiy obyektlar va ular orasidagi munosabatlarni keltirishdan boshlanadi. Bu obyektlar va munosabatlar aksiomatik nazariyaning asosiy tushunchalari deyiladi. Aksiomatik nazariyaning qolgan tushunchalari esa asosiy tushunchalari orqali ta’riflanadi; so’ngra aksiomatik nazariyaning to’g’ri tuzilgan formula (TT formula) lari to’plami hosil qilinadi va bu to’plamning ba’zi (odatda chekli sondagi) formulalari aksiomalar deb e’lon qilinadi. Aksiomatik nazariyaga uning aksiomalar sistemasidan yangi keltirib chiqariluvchi formulalar (teoremalar) ni hosil qilish vositasi bo’lgan keltirib chiqarish qoidalari kiritilgach, bu nazariya deduktiv nazariyaga¹ aylanadi. Aksiomalar sistemasidan hosil qilinadigan barcha formulalar to’plami aksiomatik sistemaning mazmunini yoki tilini tashkil etadi.Biz algebraik sistemalar temasini ko’rib o’tganimizda uning asosiy to’plami istalgan elementlardan tuzilgan bo’lishi mumkin degan edik.Agar qaralayotgan sistemalarning asosiy to’plami elementlari sonlardan iborat bo’lsa,bundau sistemalar odatda sonli sistemalar deb yuritiladi. Sonli sistemalarni qurishning asosiy ikkita mavjud.Ulardan biri aksiomatik usuldir. Bu usul to’plam tushunchasiga asoslangan bo’lib,dastlab natural sonlar,so’ngra rasional, haqiqiy va kompleks sonlar sistemalari qaraladi.Sonlar sistemalarini aksiomatik usulda qurishda esa har bir sistemaning asosiy xossalari aksiomalar yordamida beriladi. Endi natural sonlar sistemasini aksiomatik usulda bayon etamiz.Buning uchun asosiy boshlang’ich munosabat sifatida
munosabati va bu munosabat uchun o’rinli bo’lgan aksiomalar sistemasini olamiz. Ta’rif : Biror bo’shmas to’plamning va elementlari uchun “ element bevosita elementdan keyin keladi” munosabati o’rinli bo’lib, mazkur to’plam elementlari uchun quyidagi to’rtta aksioma bajarilsa, u holda to’plamning elementlari natural sonlar deyiladi: 1)hech qanday natural sondan keyin kelmaydigan soni mavjud (agar sondan bevosita keyin keladigan elementni ko’rinishda yoziladi); 2)istalgan natural son uchun undan bevosita keyin keladigan natural son yagonadir,ya’ni 3) 1 sonidan boshqa ixtiyoriy natural son bitta va faqat bitta natural sondan keyin keladi, ya’ni ( 4) agar natural sonlar to’plamining istalgan qism to’plami: a) 1 ni o’z ichiga olsa; b) ixtiyoriy elementning da bo’lishidan ning ham da bo’lishi kelib chiqsa, qism to’plam natural sonlar to’plami bilan ustma –ust tushadi, ya’ni Natural sonlar nazariyasini aksiomatik qurishda Peano (1858-1932) ta’riflanmaydigan tushunch sifatida ‘’ natural son’’ va ta’riflanmaydigan munosabat sifatida «… dan keyin keladi» degan munosabatni asos qilib olgan. Peano aksiomalari quyidagilar: 1. Hech qanday sondan keyin kelmaydigan soni mavjud.Bu aksiomadan ko’rinadiki, natural sonlar to’plamida birinchi element aniqlangan bo’lib,u sonidan iboratdir. 2. Har qanday son uchun undan keyin keladigan birgina soni mavjud Ya’ni bo’lsa bo’ladi.Bu aksioma natural sonlar to’plamining cheksiz ekanligini ifodalaydi.Haqiqatan ham,natural sonlar to’plami cheksiz,chunki istalgan natural sondan bevosita keyin keladigan natural son mavjud. 3.Istalgan son bevosita bittadan ortiq bo’lmagan sondan keyin keladi,ya’ni dan ekanligi kelib chiqadi.
Bu aksiomadan ko’rinadiki, berilgan natural sondan navbatdagi songa bir necha marta o’tilganda ham bari bir faqat va faqat bitta sonning o’zi keladi, chunki aks holda navbatdagi son hech bo’lmaganda ikkita sonning ketidan kegan bo’lar edi. Demak, natural sonlar to’plami qat’iy tartiblangan to’plamdir. 4. Agar biror qoida sonni uchun o’rinli ekanligi isbotlangan bo’lsa va uning natural soni uchun o’rinli ekanligidan navbatdagi natural son uchun to’g’riligi kelib chiqsa,bu qoida barcha natural sonlar uchun o’rinli bo’ladi.Bu aksioma matematik induksiya aksiomasi deyiladiva unga matematik induksiya metodi asoslanadi.Natural sonlar to’plamidagi barcha sonlar uchun “tenglik”mu nosabati quyidagi xossalarga ega: Refleksivlik xossasi. Har qanday natural son o’z-o’ziga tengdir,ya’ni
Simmetriklik xossasi. Agar har qanday natural son natural songa teng bo’lsa, u holda natural son natural songa teng bo’ladi ya’ni
Tranzitivlik. Agar natural son natural songa, natural son natural songa teng bo’lsa, u holda natural son natural songa teng bo’ladi,ya’ni