Ning Ikki o’zgaruvchili funksiyaning grafigi

1.2. Ikki o’zgaruvchili funksiya limiti tushunchasi va uning ta’riflari, xossalari

Ikki (va ikkidan ortq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksiligi bir

o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning atrofiga
tushunchasiga asoslanadi. nuqtaning atrofi deb (yoki ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi nuqtada bo‘lgan va radiusi ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm).
3-ta’rif. Agar son uchun nuqtaning shunday atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan nuqtasi ( nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun

tengsizlik bajarilsa, songa funksiyaning nuqtadagi yoki dagi limiti deyiladi va , yoki kabi belgilanadi.
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
1-teorema. Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni
.
2-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
.
1-natija. Funksiya da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
.
3-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni

4-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
,
3-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
, .
4-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Misollar . 1. limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz:
va .
U holda

2. limitni topish uchun nuqtaga to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda


Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi va limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz.