Ikki o‘zgaruvchi funksiyaning ekstremumlari funksiya biror sohada aniqlangan va bo‘lsin. 1-ta’rif

Ikki o‘zgaruvchi funksiyaning ekstremumlari

 funksiya biror sohada aniqlangan va  bo‘lsin.

1-ta’rif. Agar  nuqtaning shundav atrofi topilsaki, bu atrofning barcha nuqtadan farqli nuqtalarida   tengsizlik bajarilsa,  nuqtaga  funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.

Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi

Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin.

1-teorema (ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar  funksiya  nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada  va  xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladi yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmaydi.

 nuqta  funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U holda  bo‘ladi. Bu hosilalarni  tenglama bilan berilgan sirtga  nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikning

tenglamasiga qo‘ysak,  yoki kelib chiqadi.

Bundan ekstrimum nuqtalarida sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o‘zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi.

Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi.

Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.

Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Masalan,  funksiya uchun  nuqta kritik nuqta bo‘ladi, chunki bu nuqtada har ikkala  xususiy hosila nolga teng va  Bunda  nuqtaning atrofida  bo‘ladigan nuqtalar ham ( va chorak nuqtalari)  bo‘ladigan nuqtalar ham ( va chorak nuqtalari) mavjud bo‘ladi. Shu sababli  nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Bunday  nuqtaga minimaks nuqta deyiladi.