Ning Ikki o’zgaruvchili funksiyaning grafigi

1.3. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi

y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M<sub>0</sub> є V bo`lsin.

Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M<sub>0</sub> quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, …, M<sub>k</sub>, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M<sub>1</sub>), f (M<sub>2</sub>), …, f (M<sub>k</sub>), … sonli ketma-ketligi f (M<sub>0</sub>) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M<sub>0</sub>) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada erishadigan qiymati f (M<sub>0</sub>) ga tengligini anglatadi, ya`ni .
shart shartga teng kuchli ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M₀) = Δf (M₀) almashtirish kiritsak, shartlar

ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:
1) y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki

2) y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_n x_n chiziqli funksiya har bir M(x₁; x₂; …; x_n) є R_n nuqtada uzluksiz va hokazo.