Непрерывность функции действительной переменной

5.4. Непрерывность основных элементарных функций


Теорема. Каждая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
1. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.
2. Рациональная функция , где и – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых .
3. Показательная функция ( ) непрерывна на всей числовой оси.
4. Логарифмическая функция ( , ) непрерывна при всех .
5. При любом степенная функция непрерывна при всех .
6. Функции и непрерывны на всей числовой оси.
7. Функции и непрерывны во всех точках числовой оси, кроме тех, в которых их знаменатели обращаются в нуль.
8. Каждая из обратных тригонометрических функций , , , непрерывна в области своего определения.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой
точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример. Найти
Решение: Функция 2^ctgx непрерывна в точке x = , поэтому =2^ctgx =2¹=2