Непрерывность функции действительной переменной

ГЛАВА 5
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


5.1. Непрерывность функции в точке.
Односторонняя непрерывность.
Основные теоремы о непрерывных функциях.


Односторонние пределы.
В определении предела функции f(x) = А считается, что x стремится к х_о любым способом: оставаясь меньшим, чем х_о (слева от х_о), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки x_o.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к хо существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А₁ называется пределом функции у = f(x) слева в точке х_о, если для любого число ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при x (x_o-δ; x_o), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Предел слева записывают так: f(x) = А₁ или коротко:
f(x_o - 0)= А₁ (обозначение Дирихле)

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(x₀+0)=A₂.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существует и оба односторонних предела, причем A = A₁ = A₂.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(x₀ - 0) и f(x₀+0) и они равны, то существует предел А= и А=f(x₀ -0).
Если же A₁ A₂, то не существует.