Непрерывность функции действительной переменной

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀ если существует предел функции в этой точке он равен значению функции в этой точке, т.е.

(1)
Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1. 
   функция f(x) определена в точке x₀ и в ее окрестности;
   
2. 
   функция f(x) имеет предел при x → a;
   
3. 
   предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (1)
   

Так как то равенство (1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно
перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение x₀.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и . Это равенство можно переписать в следующем виде . Это означает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Пример 1. Докажем, что функция непрерывна в любой точке .
Решение. Так как , то функция непрерывна в точке .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Пример 2. Докажем, что функция непрерывна в любой точке .
Решение. Известно, что для любого выполняется неравенство . Возьмем теперь произвольное . Нам надо найти такое , чтобы из неравенства следовало неравенство . Но . Так как , а , то . Значит, если выбрать , то из следует, что . Но это и означает непрерывность функции в точке .