Непрерывность функции действительной переменной

Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке и ее окрестности.
Теорема 3. .
Пример 3. Докажем непрерывность функции во всех точках .
Решение. Имеем . Так как , то функция непрерывна.
Определение 6. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке. Символически это записывается так , .
Теорема 1. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. В этом случае .
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Теорема 2. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , также непрерывны в точке (частное - при условии ). , т.е. сумма двух функций, непрерывных в точке и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке и ее окрестности; произведение двух функций, непрерывных в точке и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке и ее окрестности,частное от деления двух функций, непрерывных в точке и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке и ее окрестности, если знаменатель в точке не равен нулю.
Теорема 3. (Теорема о непрерывности сложной функции) Пусть -сложная функция. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция , составленная из непрерывных функций, непрерывна в точке
Приведем также следующие важные свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема 4. Если функция непрерывна в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 5. Если функция непрерывна в точке и ( ), то существует окрестность точки , в которой ( ).
Кратко эту теорему можно сформулировать так: функция, непрерывная в точке , в достаточно малой окрестности этой точки имеет тот же знак, что и .
Обратим внимание, что из непрерывности функции в точке не следует непрерывность этой функции в достаточно малой окрестности точки . Например, функция

непрерывна в точке и разрывна во всех точках отличных от нуля.
Определение 7. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .
Так, в примере 1 функция непрерывна на множестве точек , в примере 2 функция непрерывна на множестве , в примере 3 функция непрерывна на множестве точек .
Теорема 6. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на промежутке и , тогда обратная функция также непрерывна и монотонна на промежутке .