Nazariy fizika kursi

j )   if dS  =   J
 grad(/3dV. 
(A .85)
Bu  yerda  hajm  bo'yicha  integral  sirt  o‘rab  olgan  soha  bo'yicha olinadi. 
Vektor  maydonda vektorning  elemantar  dS  sirt bo'yicha  oqimi
d$  =   a d S ,
 
(A.8G)
birorta  5  sirt  bo'yicha oqim  esa
Ф  =   J  a dS  —  j  a n d S   =   J  an dS  =
J  ax dydz +   J a y dzdx +   J  a , d y d x
 
(A .87)
tengliklar  bilan  aniqlanadi.
Vektordan berk sirt bo'yicha olingan integral uchun Ostrogradskiy-Gauss 
teotemasi  o'rinlidir:
a dS =   J  div a dV. 
(A .88)
Bu  teoremani  isbotlash  uchun integrallash hajmini  cheksiz kichik bo'laklarga 
bo'lamiz  va  (A .84)  ni  olishdagi  yo'lni  tutib  div a uchun  integral  ta ’rifni  quyi­
dagi  ko'rinishda yozamiz:
/
an dS
div a  —  lim  - — — -— . 
(A .8!))
AK-.0 
A V
Bu ifodaga ko'ra  a ( r )   vektordan olingan divergensiya  r  nuqtani  o'rah  lurgan 
cheksiz kichik sirt bo'yicha  a  ning birlik hajmga to'g'ri  keluvchi oqiniigu teng 
ekanligi  kelib  chiqadi.
Agar div a  =  0 boisa,  vektor solenoidal deyiladi va uning  maydoni  uyur- 
mali boiadi.  Bu holda berk sirt bo'yicha vektorning oqimi  nolga l.cng  boiadi. 
Maydonning  div а  ф  0  bo'lgan  naqtalarida manba mavjud  boiadi.  div a  >   0 
bo'lsa,  kuch  chiziqlar  shu  nuqtadan  chiqadi,  div a  <   0  da  esa  kucli  chi/iqlar 
shu  nuqtaga  kiradi.
329

---

Berk  kontur  bo'yicha  va  shu  kontur  tortib  turgan  ixtiyoriy  sirt  bo'yicha 
intcgrallarni  bog'lovehi  quyidagi  tenglik
Stoks  teoremasining  mazmunini  aniqlaydi.  Stoks  teoremasi  va  nabla  opera- 
torining  integral  ko'rinishidan  foydalanib,  rot a  ucliun  integral  ta’rifni  quyi­
dagi  ko'rinishda  yozamiz:
Stoks  teoremasigan  ikkita  muhim  natijani  kelib  chiqadi:
1. 
Agar  vektor  potensial  xarakterga  ( a   — gradip)  ega  boisa,  quyidagi 
tenglik  o'rinli  bo'ladi:
Bunga asosan vektor  potensial xarakterga  ega  bo'lsa.  bu  vektorning  niaydoni 
uyurmasiz bo'ladi.  Aksincha,  vektorning maydoni  uyurmasiz bo'lsa,  u poten­
sial  vektor  bo'ladi.
2.  Solenoidal  vektordan  olingan  divergansiya  nolga teng  bo'ladi,  ya’ni
Bundan vektorning maydoni solenoidal bo'lsa, uni hosil  qilayotgan vektorning 
rotori  nolga  teng  bo'ladi  va  aksincha.  vektorning  rotori  nolga  teng  bo'lsa,  u 
hosil  qilayotgan  maydon  solenoidal  bo'ladi.
Quyida  mavdonlar  bilan  bog'liq  bo'lgan  bir  qator  muhim  formulalarni 
isbotsiz  keltiramiz:
Vektor maydon yoki skalyat maydon birorta skalyar o'zgaruvchining funk- 
siya.si  bo'lsin.  ya’ni  a(u),  f ( u ) .   U  liolda:
(A .90)
(A .91)
дг-*о