Nazariy fizika kursi

Furye  koeffitsientlari  f n  quyidagi  formula  bilan  aniqlanadi.
T /2
f n  
=   j ,  
J
 
(A . 130)
- T / 2
Furye  koeffitsientlari  umuman  olganda  kompleks  boiadi.  Agar  / (f)  funksiya 
haqiqiv  bo‘lsa.
/,:  =   i - п. 
( a . i 3 i )
Davriy funksiyani Furye qatoriga yoyishni shu funksiyani  spekt.rga voyish 
deb  yuritiladi.  Bu  spektr  ayrim  w,  2ш,  3w. • • •  chastotalardan  iborat,  boigan ­
ligi uchun  diskret  spektr deyiladi.  Har bir garmonika bitta spcktral chiziq  mos 
keladi.  Shu sababli  diskret spektr  chiziqli  spektr deb ham yuritiladi.  Odatda,, 
fizik  kattaliklar  uchun  Furye  qatoriga yoyish  sharti  bajariladi.
Davriy  funksiyaning  davr  bo'yicha  o'rtacha  qiyrnati  nolga  teng  boiadi,
ya’ni 
____
/ (0   =   0. 
(A .132)
Bu  qoidani bevosita  (A. 128)  yoki  (A. 129)  ni  davr bo'yicha o'rtachalab qanoat 
hosil  qilish  mumkin.  Endi  / (f)  funksiya  kvadratining  davr  bo'yicha  o'rtacha 
qiymatini  aniqlaymiz.  Bulling  uchun  (A. 129)  ni  kvadratga  oshiramiz  va  vaqt 
bo'yicha  bir  davr  ichida  integrallaymiz:
T / 2
[   dt
 
] T  
f n f m e l { n + m ) w t .
 
(A . 133)
- T / 2  
П , 7 П = - О С
f ( t )
 
funksiyani  haqiqiy  deb  hisoblaymiz  va  (A .131)  ga  binoan  (A .133)  ni 
quyidagi  ko'rinishda yozish  mumkin:
T/ 2
____  
00 
i 
/•
Я * ) 2 -  
E  
f n f m j i
  / 
Y .  
f n f n X m -
 
(A .134)
n,   m =  —
 oo 
T / 2  
n
’ m  — — oc
Bu  yerda
- 
_   J  1. 
n  =   m;
nm  ~   {
  0, 
n  ф  m
Kroncker  simvoli  yoki  5  simvol  deyiladi.  (A .134)  da  yig'ndini  hisoblab  Furye 
qatori  uchun  Parseval  tengligini  olamiz:
OO 
OC
J W =
  E   l/nl2  =   2 E l / » l a- 
( A . l 35)
n
 — — OC 
7 1 = 1
334

in  yerda  / (f)  =   0  bo'lganligi  uchun  f 0  —  0.
Davriylik  xossasiga  ega  bo‘lmagan  funksiyalar  uchun  (A.128)-(A.12!>) 
lator  integral  bilan  alrnashtiriladi:
OO
/ (f)  =   ^   j   F ( c j ) e iutduj. 
(A.llH i)
— OO
hmga  Furye  integrali  dej’iladi.  Bu  yerda  / (f)  funksiyr  chekli  vaqt  oralig'ida 
aavjud  bolishi  kerak.  Y a ’ni  t  —*  ±o c  da  / (f)  —> 0  kerak.
F (
lj
)  Furye  amplitudasi
  deyiladi  va  quyidagi  formula  bilan  aniqlanadi:
OO
F (w )  =   I   f { t ) e ~ iultdt. 
(A .137)
— OO
A. 136)  da  chastota  u>  uzluksiz  o‘zgaradi.  Shuning  uchun  Furye  integraliga 
■oyish  uzluksiz  spektrga  yoyash  deb  yuritiladi. 
Boshlang‘ich  funksiya  / (f) 
iaqiqiyr b o ‘lsa,  quyidagi  shart  crrinli  boiadi:
F * (w )  =   F ( - w ) .  
(A .138)
Furye integrali bilan aniqlangan funksiyaning kvadratidan barcha vaqtlar 
Kj'yicha  olingan  integralni  aniqlaymiz:
OO 
ОС 
ОС 
ОС
/ 
f 2 ( t ) d t = = ( 2 ^  
J dt I 
I 
F ^ ' V ^ ' d u ' .  
(A . 139)
— o o  
— о с  
— о с  
— о с
3u  yerda  o:ng  tomondagi  vaqt  bo‘yicha  integral  I / I
tt
  bilan  birga 
5
( u j
 
+  
uj
' )  
li beradi.  Endi yuqoridagi  ifodani  й'-funksiya y'ordamida to'  bo‘yicha integral- 
aymiz  va  (A . 138)  ni  inobatga  olib  quyidagini  hosil  qilamiz:
ОС 
OO
j
 
/ 2(f)d t 
= ^  
J  
\F{ui)\2du).
 
(A. 110)
— o c  
— OO
Bu  ifoda Furyre integrali  uchun  Plcmsheral formulcisi  (yoki  umumlashgan  Par- 
ieval  tengligi)  deb  yuritiladi.
Koordinataga  bog‘liq  bo'lgan  va  fazoning  chekli  qismida  muj;ussamlash- 
jan  funksiyani  Furye  integraliga yoyish  mumkin:
/ И   =   ^
 /  f ( k ) e - ‘krdk. 
(A .141)
335

f ( k )   =  
J  
f ( r ) e lkrdr
 
(A .142)
esa  Furye  amplutuda yoki  funksiyaning Furye  tasviri  deb  yuritiladi.
Agar ko'rilayotgan funksiya koordinata va vaqtga b o giiq  bo'lsa,  bir vaqt- 
da koordinata va vaqt  bo'yicha Furye  integraliga
■f(r ’'*)  =   (2^)? /  
J 
f { k^ ) e i(ut- kr) dkduj.
 
(A .143)
yoyish mumkin.  Bunda funksiyaning Furye tasviri  teskari Furye almashtirishi 
bilan  aniqlanadi:
f ( k  u i ) =  
J  J  
f ( r , t ) e i{uJt~ kr) drdt.
 
(A .144)
Furye  qatori  yoki  integrali  fizika  masalalarini  yechishda  muhim  aharniy- 
atga  ega.  Avniqsa  differensial  tenglamalarni  yechishda  qo‘l  keladi.  Bundan 
* 
tashqari  nurlanish  spektrini  o'rganishda  spektrometrning  matematik  ifodasi 
deb  qarash  mumkin.
A .5  Dirak  delta-funksiyasi
<5-funksiya  singular  boiib,  Dirak2  tomonidan  kiritilgan  va  nazariy  fizi- 
kaning  ko'p  masalalarida ishlatiladi.  5-funksiya  quyidagi  munosabatlar  bilan 
aniqlanadi:
~  
2 »   x i o !  
=   1. 
« < » < < > ■  
(A -145)
a
Bu  ta’rifdan  J-funksiyaning  asosiy xossasi  kelib  chiqadi: 
b
J 
f ( x ) 5 ( x )   dx
  =   /(0), 
a
  <   0  <   b. 
(A .146)
a
Bu  yerda  f ( x )   ixtiyoriy  uzluksiz  funrsiya.  (A . 146)  integralni  quyidagi  ko'ri- 
nishda yozish  mumkin
b
J  
f ( x ) S ( x   -  x 0)  dx  =   f ( :
r0), 
a  <   x0  <   b. 
(A .147)
Bu  yerda 
к  to'lqin  vektori.
2П .A .M .Д и р а к ,  О сновы   к вантовой  м еханики,  Г И И Т Л .   1937.
336

I  integrallash sohasidan tashqarida (
xq
  <   a;
  X(>  >   b)  bo‘lsa,  bu integral 
:ng bo‘ladi.
rnksiya  natijaviy  ifodalarda  ishtirok  etaolmaydi.  Doimo  d'-funksiya 
ida,  albatta  uning  argumentlaridagi  o'zgajuvchilar  bo'yicha  integral 
>‘zda  tutiladi.  Bu  funksiyani  analitik  funksiyalar  ketma-kctligining 
eb  qarash  mumkin. 
susan.  bunday  xossaga
F ( x )
sm ax
i  ega bo‘lib,  a  —>  oc  da o‘zini  (5-funksiya kabi  tutadi.  Haqiqatan ham. 
;0  =   a/7r  va  a  —>  oo  da  cheksizga  intiladi.  x  ф  0  da  uning  qiymati 
hi  amplituda bilan  nol  atrofida tez tebranadi.  Nihoyat,  ixtiyoriy  a  da
OO
I
7ГХ
-dx  =
  1.
oo
/
s i n a z   , 
. 
1 
sin 
ox
ax  =
  1, 
d(x)  =   —  lim
t t x
7Г
  a —
>oo 
X
( A . 148)
iinga o‘xshash  (5-funksiyaning boshqa tasawurlarini  ham  yozish  mum-
<5(x)  =   —  lim
7Г  a — 0 
Х г   +   a A
d’fx )  =   -4=  lim a exp  (  —
s/ к
  o - . o  
\  
a2
6{x)
lim
“ ~ °  
° h p © +
1 
= 
i  J
— OC
d Q ( x )
J l i k x
dk  .
5( x)
dx
Xevisayda funksiyasi
=   (
»
1 
[ 1   agar  x
<  0,
:  >  0.
( A . 149) 
( A . 150)
(A . 151)
(A . 152) 
( A . 153)
( A .  154)
1 1 7

<5(-x)  =   J(x), 
5 ' ( - x )
  -   - J '(x ), 
(A . 155)
xS( x)
  =  0, 
xS' ( x)   =   - 6 ( x ) ,
 
(A .156)
6(ax)  =   ^ d ( x)  
a
  >   0. 
(A .157)
6( x2  — a2)  =
 
i-[<5(x _ a )   +  5(x +  a)], 
(A .158)
j  
5(x -  a)5( x -  b)  dx
  =  
S ( a - b x ) ,
 
(A.159)
f ( x ) 6 ( x - a )   =  
f ( a ) S ( x  — a).
 
(A.160)
J  
f ( x ) S ' ( x  -  a)  dx,  =  
—f ' ( a )
 
(A .161)
<>(/)  df  =  
5( x)   dx,
 
(A .162)
S(9{1))
  = 

J
  Д » Ж « М )   dx  =  
У   ~
  Д
ц ) ,  
(A.164)
<)'-funksiyaning  ba’zi  xosslari  keltiramiz:
S { r - a )  
=  
S(x — ax) 6( y  — ay )S(z
  — az). 
(A.165)
Bu yerda хг  nuqlarda g( xi)   =   0 tenglama bilan aniqlanadi,  g ( x)  “ x”  ning silliq 
funksiyasi.
338

Foydalanilgan  adabiyotlar
1.  М иллим  P.X.  М айдон  мазарияси,-  Т.:  Укитувчи,  1965.
2.  М а л ли н   Р.Х.  К ла сси к   электродинамика.  I  кием.  К ла сси к   микро­
электродинамика -  Т.:  Ущ ггувчи,  1974.
3.  М а л ли н   Р.Х.  К ла сси к   электродинамика.  II   гаем.  К ла сси к   макро­
электродинамика -  Т.:  Укитувчи,  1978.
4.  Л еви ч  П.Г.  К у р с   теоретической  физики.  У чеб.  пособие.  Том   I.  - 
М.:  Наука.  1969.
5.  Л андау  Л .Д .,  Ли ф ш и ц   Е .М .  Теория  поля.  У ч еб.  пособие.  -  М.: 
Наука,  1976.
6
.  Л андау  Л .Д ..  Ли ф ш и ц   Е .М .  Электродинамика  сплош ных  сред. 
Учеб.  пособие.  -  М.:  Наука.  1982.
7.  M ills D .L.  Nonlinear  Optics.  Basic  Concepts.  -  Springer-Verlag,  1998.
8
.  Кивш арь К ).С .,  А гр а в а л Г.П.  Оптические солитоны.  - М.:  Физмат- 
лит,  2005.
9.  А бд улла ев  Ф .Х .,  Д арманян  С .А .,  Х абибуллаев  П .К .  Оптические 
солитоны.  -  Т.:  Ф А Н ,  1986.
10.  М аркузе  Д .  Оптические  волноводы.  -  М.:  М ир,  1974.
11.  Топтыгин  И .Н .  Современная  электродинамика,  часть  I.  М икрос­
копическая  теория:  У чебн ое  пособие.  -  Москва-Ижевск,  2002;  Интернет 
магазин  -  http://shop.rcd.ru.
12.  Ш арипов  Р.  А .  К лассическая  электродинамика  и  теория  относи­
тельности.  У чебное  пособие.  У Ф А ,  1997.
13. 
К иселев  В.В.  К лассическая  электродинамика. 
Семинары  по 
курсу  “Теория  п оля” .  Протвино,  2004.
14.  Гречко  А.Г.  и  др.  Сборник  задач  по  теоретической  физике.  М. 
Просвещение,  1979.
15.  Векштейн Е.Г.  Сборник задач по электродинамике.  -  М.:  Высш ая 
школа,  1965.

Mundarija
So‘z  boshi
.........................................................................................  
5
Bob 
1
  Maxsus  nisbiylik  n azariyasi..................................  
9
1.1 
N isbiylik  p rin s ip la r i 
 
9
1.2 
N isb iylik  nazariyasida  in t e r v a l......................................... 
14
1.3 
N isb iylik  nazariyasida  v a q t ..............................................  
20
1.4 
Loren tz  a lm ash tirish lari....................................................  
23
1.5 
Loren tz  almashtirishlaridan  kelib  chiqadigan  xulosalar 
26
1.6 
N isbiylik  nazariyasida  tezliklarni  va  burchaklarni  al­
mashtirish  ...........................................................................  
28
1.7 
T o 'rt  ’lchovli  vektor  va  te n z o r la r  
 
31
1.8 
T o ‘rt  o ‘lchovli  tezlik  va  te z la n is h  
 
36
1.9 
1-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r  
 
38
Bob  2  R elyativistik  mexanika........................................ 
41
2.1 
Erkin  m oddiy  nuqtaning  Lagranj  fu n k siy a s i.................  
41
2.2 
Erkin  m odd iy  nuqtaning  energiya  va  im p u ls i 
 
43
2.3 
Zarrachalar  sistemasining  m e x a n ik a s i 
 
48
2.4 
R ely a tivistik   zarrachalarning  p a rch a la n ish i.................  
54
2.5 
R ely a tivistik   zarrachalarning  elastik  t o ‘qnashishi.  . . .  
57
2.6 
2-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r  
 
61
Bob  3  Elektrom agnit  maydondagi  z a r y a d ......................  
63
3.1 
N isb iylik   nazariyasida  zaryad  va  z a rra c h a la r 
 
63
3.2 
E lektrom agnit  m aydondagi  zaryad uchun  ta ’sir integrali 
65
3.3 
E lektrom agnit  m aydondagi  zaryad  harakat  tenglam asi. 
67 
Loren tz  k u c h i......................................................................
3.4 
M aydon   kattaliklari  uchun  Loren tz  almashtirishlari  . . .  
73
3.5 
M aydon ning  kalibrovka  in v a r ia n tlig i 
 
76
3.6 
Tekis  harakatlanayotgan  zaryad  m a y d o n i....................  
78
3.7 
E lektr  m aydonda  zaryadning  h a r a k a ti..........................  
81
3.8 
M agn it  m aydonda  zaryadning  h a r a k a ti 
 
84
3.9 
3-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r  
 
86
Bob  3  Elektrodinamikaning  asosiy  te n g la m a la ri..........  
89
О  
А  ГЛ

4.1
M a k s ve ll-L o ren tz  tenglam alarining  birinchi  jufti  . . . .
«!)
4. 2
Z aryadning  saqlanish  q o n u n i......................................
4.3
E lektrom agn it  m aydon  uchun  ta ’sir  in t e g r a li...............
«II
4.4
M a k svell-L o ren tz  tenglam alarining  ikkinchi  ju fti  . . . .
97
4.5
E lektrom agn it  m aydon  energiyasining  saqlanish  qonuni
Kill
4.6
M aydon   potensiallari  uchun  te n g la m a la r .......................
1(11
4.7
4-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r .........................................
106
Bob  5  E le k tro s ta tik a ..........................................................
10!)
5.1
E lektrostatik  m ayd on ........................................................
109
5.2
K u lon  q o n u n i........................................................................
111
5.3
M u ltip o l  m o m e n tla r ...........................................................
112
5.3.1  D ip ol  m o m e n t i..........................................................
113
5.3.2  K vadrupol  m o m e n t i..................................................
115
5.4
E lektrostatik  m aydon  e n e r g iy a s i......................................
119
5.5
Tashqi  m aydonning  zaryadlar  sistemasiga  t a ’siri  . . . .
123
5.6
5-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r .........................................
126
Bob  6
0
‘zgarmas  magnit  m a y d o n ...................................
129
6.1
Statsionar  t.okning  m agnit  m a y d o n i................................
129
6.2
M agn it  m o m e n ti..................................................................
133
6.3
C hiziqli  tokning  m agnit  m o m e n t i...................................
135
6.4
M agn it  va  impuls  m om entlari  orasidagi  bog'lanish  .  .  .
138
6.5
6-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r .........................................
140
Bob  7 Vakuumda  elektrom agnit  m a y d o n ......................
143
7.1
Todqin   te n g la m a s i.............................................................
143
7.2
Yassi  elektrom agnit  t o ‘lq in la r i.........................................
145
7.3
M onoxrom atik  elektrom agnit  t o ‘lq in la r ..........................
148
7.4
7-bobga  oid  m asalalar  va s a v o lla r .....................................
153
Bob  8 Ix tiy o riy   harakatdagi  zaryadlar  m a y d o n i............
155
8.1
Kechikuvchi  p o te n s ia lla r ....................................................
155
8.2
N u q taviy  zaryad  kechikuvchi  p o te n s ia li..........................
160
8.3
Ix tiy o riy   harakatdagi  zaryadlarning  yetarlicha  uzoq
m asofalardagi  m a y d o n i.......................................................
165
8.4
D ipol  n u rla n is h i................................................................
169
8.5
Nurlanish  re a k s iy a s i..........................................................
172
8.6
Nurlanish  ch izig'ning  ta b iiy   k e n g lig ii.............................
175
341

8.7 
K vadrupol  va  m agnito-dipol  n u rla n is h i.......................  
179
8.8 
Elektrom agnit  to'lqinlarning  zaryadlarda  sochilishi  .  . 
182
8.9 
R elyativistik   zaryadlarning  n u rla n ish i..........................  
185
8.10 
8-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r ...................................... 
188
Bob  9  Makroskopik  elektrodinamikaning  asosiy
ten g la m a la ri.........................................................  
189
9.1 
M aydon  kattaliklarini  o i'ta c h a la s h ................................  
189
9.2 
E lektr  maydonda  muhitning  q u tb la n is h i....................  
192
9.3 
Tok  zichligining  o ’rta c h a s i..............................................  
194
9.4 
Maks veil  va  bog'lanish  te n g la m a la ri.............................  
198
9.5 
C hegaraviy  s h a r tla r ..........................................................  
201
9.6 
M u h itda  elektrom agnit  m aydon  energiyasining  saqla-
nish  q o n u n i........................................................................  
206
9.7 
9-bobga  oid  masala  va  s a v o lla r ...................................... 
208
Bob  10  M uhitda  elektrostatik  m a y d o n ...........................  
209
10.1 
0 ‘tkazgichlarda  elektrostatik  m a y d o n ..........................  
210
10.2 
0 ‘tkazgiclilarning  elektrostatik  m aydon  energiyasi  .  .  . 
211
10.3 
D ielektriklarda  elektrostatik  m a y d o n ..........................  
215
10.4 
Elektrostatika  masalalarini  yechish  m e t o d la r i............ 
216
10.5 
D ielektriklar  va  o'tkazgichlar  tashqi  elektrostatik  .  .  . 
m a y d o n d a ...........................................................................  
223
10.6 
10-bobga  oid  masalalar  va  s a v o lla r ................................  
227
B ob  11  0 £zgarmas  magnit  m a y d o n ................................  
229
11.1 
Orn  q o n u n i......................................................................... 
229
11.2 
0 ‘zgarinas  tokli  chiziqli  o 'tk a z g ic h la r ..........................  
232
11.3 
0 ‘tkazgichlarda  o ‘zgarmas  t o k ...................................... 
234
11.4 
Statsionar  tokning  m agnit  m a v d o n i.............................  
235
11.6 
11-bobga  oid  m asalalar  va  s a v o lla r .............................  
238
B ob  12  Kvazistatsionar  m a y d o n la r
...................................... 
239
12.1 
Kvazistatsionarlik  s h a r tla r i 
 
239
12.2 
Harakatdagi  o'kazgichlar  uchun  induksiya  qonuni  .  .  . 
241
12.3 
C h iziqli  o'tkazgichlarda  kvazistatsionar  t o k l a r ............ 
245
12.4 
Kvazistatsionar  toklar  e n e r g iy a s i...................................  
247
12.-5 
O 'tkazgichda  kvazistatsionar  toklarning  taqsim oti  .  .  . 
250
12.6 
B ir  jinsli  va  izotrop  muhitda  elektrom agnit  to'lqin lar  . 
254
12.7 
12-bobga  oid  masalalar  va  s a v o lla r ................................  
258
342

Hob  13  Yuqori  chastotali  m a y d o n la r..............................  
'.'(’ I
13.1 
D ielektrik  singdiruvchanlikning  d is p e rs iy a s i............... 
2<>l
13.2 
Y o ru g 'lik   d is p e rs iy a s i........................................................ 
2(i  I
13.3 
ispersion  m uno.sabatlar..................................................... 
213.4 
F azoviy  va  va q tiy   d is p e rs iy a s i.........................................  
271
13.5 
C herenkov-Vavilov  n u rla n ish i.........................................  
274
13.6 
13-bobga  oid  masalalar  va  s a v o lla r ................................  
27!)
Hob  14  N ochiziqli  o p tik a
........................................................... 
281
14.1 
N och iziqli  dielektrik  sin gd iru vch a n lik ..........................  
281
14.2 
Ikkinchi  garm onikaning  g e n e r a ts iy a s i..........................  
286
14.3 
Uchinchi  tartibli  nochiziqli  e ffe k t,la r.............................  
2!)2
14.4 
B ir  o ic h a m li  nochiziqli  Shredinger  t e n g la m a s i...........  
295
14.4.1  M odu lyatsion  b a r q a r o r lik ...................................  
295
14.4.2  F azoviy  yorqin  optik s o lito n la r ............................. 
298
14.4.3  Q oron g'i  fa zoviy  s o lito n la r ...................................  
301
14.6 
14-bobga  oid  m asalalar  va  s a v o lla r ................................  
302
Masalalarning javoblari  va  y e c h im la ri
................................  
303
Ilova  Asosiy  matemanik  fo rm u la la r
...................................  
325
A .l 
V ektorlar  a lg e b r a s i.............................................................  
325
A . 2 
M a y d o n la r ............................................................................  
327
A .3 
E gri  chiziqli  k o o d in a ta la r .................................................. 
331
A . 3.1  Sferik  koordinata  sistem asi...................................  
331
A .3.2  Silindrik  koordinata  s is te m a s i.............................  
332
A .4 
Furye  qatori.  Furye  in t e g r a li............................................  
333
A .5 
D irak  d elta -fu n k siyasi........................................................ 
336
Foydalanilgan  a d a b iy o tla r
.......................................................... 
339
343

Abdulaziz  Abduvakhabovich  ABDUMALIKOV
ELEKTRODINAMIKA
Oliy  о ‘quv yurtlari  uchun  darslik
Muharrir Xudoyberdi P o ‘latxo‘jayev 
Badiiy muharrir  Yasharbek  Rahimov 

Download 9,24 Mb.