Nazariy fizika kursi

(
8
.
1
)
(
8
.
2
)
(8.3)
o lirili.
155

---

qfular 
(I  <
  0)  zaryadlar tinch turibdi va /,  =  0 momentdan  boshlab  zar­
yadlar  ixtiyoriy  qonuniyat  bilan  harakat  qila  boshlaydi  deb  faraz  qi- 
buniz.  Bunda  elektromagnit  maydonda  boshlang'ich  holatga  nisbatan 
g'alayonga keladi deb qarash mum kin.  Shu sababli  (8.1) va (8.2)  tengla­
malarni  aynan  shu  g'alayon  uchun  yozilgan  deb  qaraymiz.  B u  holda 
maydonning  o'zgarishi  uchun  javobgar  bo'lgan  zaryad  va  tok  zichligi 
t
  >   0  da  m a ’lum   deb  qaraladi. 
t
 <   0  da  esa  p(r, 0)  =  0, 
j ( r ,
 0)  =  0 
deb  olish  kerak. 
Masalani  bunday  qo'yilishida  boshlang'ich  vaqtda 
E(r.
 0)  =   0  va 
H (r,
 0)  =   0  bo'ladi. 
M aydon  kuchlanganliklari  va 
potensiallar orasidagi bog'lanish  (3.19)-(3.20)  tenglamalariga asosan bu 
shartlar potensiallar  uchun  quyidagi  ko'rinishda  yoziladi:
A (r ,0 )   =   0,
8 A (r,
 0)
=   0, 
(8.4)
y>(r,0)  =   0.
Chegaraviy  shartlar: 
t >
  0  da  kuzatish  nuqtasi  cheksiz  uzoqlashganda 
potensiallar  1/r  dan  tezroq  nolga intilishi  talab  qilinadi.
Yuqorida  qo'yilgan  masalani  aniq  m atem atik  metodlar  yordam ida 
yechish m um kin.  A m m o bu  masalaning yechimini  anclia qulay bo'lgan 
fizik usul yordamida topamiz.  Bu  usulning asosida chiziqli tenglamalar 
uchun  o'rinli  bo'lgan superpozitsiya  prinspi  yotadi.
Zaryadlar egallagan sohani cheksiz kichik hajm  elementlariga boia- 
miz.  Shu  cheksiz  kichik  h a jm   elementlaridan  biridagi  zaryadlar  hosil 
qilayotgan maydonni aniqlaymiz.  Ko'rilayotgan zaryadlar sistemasining 
maydoni barcha cheksiz kichik h a jm  elementlaridagi zaryadlar maydon- 
larining superpozitsiyasiga  (yig'indisiga)  teng.
Cheksiz  kichik  h a jm   elementlaridan  birini  tanlab  olamiz.  Undagi 
zaryad 
de =  p d V
  bo'lsin.  Faqat  shu  zaryad  m avjud  deb,  uning  may­
donini 
dV'
  hajm dan  tashqarida  aniqlaymiz. 
dV'
  hajm dan  tashqarida 
zaryadlar yo'q,  demak,  tok ham  bo'lm aydi.  B u hoi uchun  (8.1)  va  (8.2) 
tenglamalar  bir jinsli  tenglamalarga  o'tadi.
Avval skalyar  potensial  uchun  tenglamaning yechimini  aniqlaymiz:
1 
д2диэ
Л ^ - 3 - ^   = 0- 
(8-5)
С
156

---

Cheksiz kichik h a jm  elementidagi zaryadning hajm dan tashqaridu hosil 
qilayotgan  maydoni  sferik  simmetriyaga  ega  b o ia d i.  ya’ni  u  facial 
/ h i  
yaddan kuzatish nucitasigacha b o ig a n  masofa 
R
 =   |r — 
r'\
 ga va vaqtga 
b o g iiq  b o ia d i. 
Bu  holda  Laplas  operatorini  sferik  koordinatalarda 
yozilishidan  (A .117  qarang)  foydalanib  (8.5)  ni  quyidagi  ko:rinishda 
yozib  olamiz:
J _
_д_  I
r
2d6y\
  _   1 
d 26
  Q
R 2 DR
  V“  
OR J
 
c2 
dt2 
^
Bu  yerda  Laplas  operatoning 
в  va  ip
  b o ‘yicha  hosilali  qism larining 
5^p 
ga  ta ’siri  nolga teng b o iish i  inobatga olindi.
Yangi  funksiya kiritamiz:
S
 
(8.7)
Bu  funksiyaga  nisbatan  (8.6)  tenglama,  bizga  m a ’luin  b o ig a n   to iq in  
tenglamasiga o'tadi,  ya’ni:
OR2 
c2  d t
2 
( 
)
Bu  tenglam aning  yechimini  um um iy  holda  quyidagi  ko‘rinishda yozish 
mumkin:
x № < )   =  X i 
( t ~
 
+ X2  ^  
^
  • 
(8.9)
Avval  (8.5)  tenglam aning  (8.9)  dagi  birinchi  had  bilan  b o g iiq   b o ig a n  
xususiy  yechimini  k o iib   chiqamiz,  ya’ni: