Nazariy fizika kursi

Q,P
) j u ftlik n i, o d a t d a ,
kanonik q o ‘shma o ‘zgaruvchilar
deyiladi. U l a r n in g qaysi b i rin in g
fizik m a ’nosi q a n d a y b o i i s h i k o n k re t m a s a la d a k o ‘rilgan k o n k r e t
k a n o n i k a lm a s h tiris h la rg a b o g i i q b o i a d i .
Bu holatga misol sifatida 
Q = p, P
=
- q
alm ashtirishlarni keltirilishi 
m u m k in , b o r y o 'g 'i im p u ls va k o o r d i n a t a n in g o ' m i n i a lm a s h tirib
qo'ydik, bu k a n o n ik alm ashtirish ekanligini tekshirib k o ‘rish m u m k in .
7.6.2-misol. Awalgi misolda ko‘rilgan almashtirishga kirgan chastotani 
vaqtga bog'liq deb olylik:
Bunday almashtirish garmonik ossiilatorining chastotasi o'zgaruvchan bo'lgan 
holga mos keladi. Bu hoida yangi o'zgaruvchilar tilida kanonik tenglama- 
iarning ko'rinishi qanday boiadi va bu qanday qulayliklar beradi?
Yechish. Bu hoi awalgi holdan farq qiladi. Yangi Gamilton funksiyasi 
H'
eskisiga teng emas:
Yangi va eski kanonik o'zgaruvchilar orasidagi bogianish o'zgar- 
maydi:
Natijada yangi Gamilton funksiyasi uchun quyidagi formula olinadi:
Fx{q ,Q j)
= -
nm (t)q2cigQ.
(7.180)
(0
\
H ’ = Pco 1 +
sin
( 2 0
(7.183)
v
2(0
/
Kanonik tenglamalarga kelaylik:
217

---

P = P — cos(2Q), Q = co
1
+ —^ - s i n
( 2 0
со
2
or
/
(7.184)
/ 
^
Bu te n g la m a la r sistem asini ft)/ft)' « 1 boMgan h o ld a g 'a la y o n la n is h
nazariyasi orqali yechish m um kin.
Quyidagi misollar kanonik almashtirish y ordam ida nochiziqli tebranish- 
lar masalasini yechishga oiddir.
7.6.3-misol. 
Nochiziqli ossillatorni olaylik:
M asala quyidagidan iborat: 
F2(x,P ) = xP + ax2P + bP3
hosil qiluvchi
funksiyada 
a
va 
b
param etrlarni shunday tanlab olingki, yangi G a m ilto n
funksivasiga o'tilganida sistemaning kichik tebranishlari garmonik ko‘rinishga 
ega bo'lsin.
Yechish. 
Yangi va eski kanonik o'zgaruvchilarni bog'laylik:
Keyin ko 'ram izk i, 
a
va 
b
p a ra m e trlar masaladagi kichik pararnetr 
a
ga 
pro p o rsio n al bo'Iadi, shuning u c h u n ular b o 'y ic h a faqat birinchi tartibli 
hadlar qoldiriladi. M ana shu birinchi tartibda eski o'zgaruvchilar vangiiari 
orqali quyidagicha aniqlanadi:
Hosil qiluvchi funksiya vaqtga oshkora bog'liq emas, shu sababdan yangi 
G a m ilto n funksiyasiga o'tish uchun eski G a m ilto n funksiyasida m ana shu 
almashtirishlarni bajarilsa vetarli (eslatib o'tam iz, 
a
va 
b
param etrlar bo'y icha 
chiziqli yaqinlashuvda qolish kerak, undan tas!tqari, 
c,b ~ a
, shu sababdan 
a a, a b
hadlar ham tashlab yuboriladi):
(7.185)
^- = x + ax2 +3bP2
(7.186)
p = P + 2aQP\ x
= 
Q -a Q " — 3bP~.
(7.187)
я = -
+ —
Qr
+ 
(2a - 3 b o f )QP~
+ (a /3 -
aor )QJ
+ ■
(7.188)
Oxirgi ikkita nochiziqli hadlar bo'lmasligi uchun
2
a - 3bw2
= 0, 
a = Засо'
(7.189)
bo'lishi kerak. Bu degani.
a
, 
2 a
(7 .1 9 0 )
D em ak ,
218

---