Nazariy fizika kursi

q(t) + Sq[l), p(t)
—> 
p(t) + 8 p ( t ) ) 1
vaqtga tegmavmiz, chegaralarning
o ‘zgarm asligidan foydalaniladi: 
Sqa = 8qh = S p u
= 
S p b
= 
0
. U m u m i y
m e t o d b o 'y ic h a
S S  
hisoblaym iz va u ni nolga tengiashtiram iz:
8 S
-=
J(5
pdq
+ 
p Sd q - § Hdt).
(7.140)
I n t e g r a l o s t i d a g i i k k i n c h i h a d n i b o M a k l a b i n t e g r a l l a y m i z v a
e rr _ 
с 
ЗЯ _
~~dp 
~dq
ekanligini hisobga olamiz:
k o ' r i n i s h d a y o z i b o l i s h m u m k i n . U m u m i y h o l d a e s a
8 S  = ^ 8 p { d q — ~ - d t  j - ^ 8 q { d p + (~ - d t
+ p d q
(7.141)
Oxirgi had nolga teng (chegaraviy sh artlar natijasida). Variatsiyalar 
ixtiyoriy b o 'lg a n id a bu ifoda nolga ten g b o ‘lishi u c h u n
, 
ЭЯ 
3 
H
d q -
—
dt = 0, d p + — dt
= 
0 
(7.142)
bo'lishi kerak. K a n o n ik tenglam alarga y a n a keldik.
7.5.1-misol. Bir o'lchamli harakat qilayotgan erkin nuqtaning ta’sirini 
toping.
'b 
'b 
h
/ 1
\
1
'/.
S = ^ d t L ( q , q , t ) = ' ^ d t q 2 = ~ ^ d t ^ [ q q \ - q q = ^ [ q q \
(7.143)
211

---

chunki erkin nu q ta uchun 
q
= 0 . Endi 
q
= —— — = const ekanligini hisobga
h - la
olish qoldi. Natijada
a _ m ( q h - q a)2
-----
1
^7Л44)
“
lh ~ la
formulaga kelinadi. K o ‘rinib turibdiki,
3S 
Чь~Ча
35 
qh - q a 
■
„
dS
p h = —
m —
---- — = 
mq, p u
= - — = 
m -
---- — = 
mq, H
= - — . (7Л45)
Mb 
h ~ la 
Ma 
*Ь~К, 
dtb '
Uch o'lch am li holga o 'tg an im izd a (7.144) o'rniga
c _ m (
rh- r ay
 
_ . .
(7Л46)
1
lb 
‘a
formulani olamiz.
7.5.2-m isol. G a rm o n ik ossillatorning t a ’sirini toping.
s--=
‘b 
>b
™ j d t ( q 2 - 0 y q : ) = j j d t ^ [ q q ] - q q - l O 2q2
= y [
qqf^
(7.147)
chunki garm onik ossillator u ch u n harakat tenglamasi 
ij + co'q
= 0. Bu tengla­
m an in g v e c h im in i
q{t) = A
cos £
0
/ + 
В
sin 
a t
(7.148)
k o ' r i n i s h d a o l i b , c h e g a r a v i y s h a r t l a r n i h i s o b g a o l g a n h o i d a u n i
q(t)
= 
qa
c o s
( o ( t- t a) + ^ -
s in
c o (t-ta) = qh
c o s
(o{t
-?,,) + 
sin 
0
J ( t - t h)
(7.149) 
со 
a)
ko'rinishga kcltirish mum kin. 
0
‘z navbatida bu munosabatlardan
cos t o r ) ,
qh — ———— (q/,
cos 
coT
-
qa )
(7.150) 
si
ncoT
sin 
coT
ekanligi topam iz, bunda 
T = tb - t a.
Topilgan formulalar
[qq t ’
= 
- Г ~ л [ ч 1 +ql
)cosa>7' 
- l q aqh
j 
(7 .
15
1)
'«
S i n d ) / L V 
'
j
ga olib keladi. Natijada, garmonik ossillator uchun t a ’sir integrali shu integ­
r a t i n g chegaraviy nuqtalarin in g funksiyasi sifatida quyidagi k o ‘rinishni 
qabul qiladi:

---

тЮ T \(ci;+q2
h)cos(oT-2qaqb].
2sm coT I'- 
'
J
(7.136) formulalarni tekshirib chiqish qiyin emas.
(7.152)
7 .6 . Kanonik almashtirishlar
7.6.1. Ta’rif. Hosil qiluvchi funksiyalar
A w a l aytgan edikki, Lagranj form alizm idagi u m u m la s h g a n k o o rd i­
natala r 
q.
ni ixtiyoriy ravishda tanlab olish m u m k in , h a ra k a t tengla- 
m alarining u m u m iy k o ‘rinishi bu n g a bog'liq em as. U l a r ustid a h atto 
vaqtga bog'liq b o 'lg a n alm ashtirishlarni h a m bajarish m u m k in :
b u n d a
q
— eski k o ordinatalar, 
Q —
yangi k o o rd in a ta la r ((1.2)-m isolga 
qarang).
K a n o n ik form alizm i 
2s
o 'lc h a m li 
(qrp ) , i = l, .. . , s
fazo tilida ifoda- 
lanadi. B u n d ay m a te m a tik fazo 
fazaviy fazo
deyiladi. B u fazoni tashkil 
qiluvchi 
q
va 
p
ko o rd in atlar teng huquqlidir. U ia rn in g teng huquqliligi 
yangi im k o n iy a tla rg a olib keladi. Quyidagi m a te m a t i k alm ashtirish 
y o rd a m id a
bu fa zoda yangi koordinatalarga o ‘tish m u m k in . Yangi koord in ata la rg a 
o 't i s h d a n asosiy m aqsad ularni s h u n d ay tan lab olishki, u iarning ichida 
m u m k in q a d a r k o ‘p ro q siklik