Navoiy Kon metallurgiya Kombinati Navoiy Davlat Konchilik Instituti

A (d y )2 — Bdxdy + С (d x) 2 = О
оддий дифференциал тенгламага айтилади.
Гиперболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
ф(лг, у) = C i ва г|)(л:, у) = Сг интегралга эга булади. Умумий тенглама
£ = ср(х, у ), Г1= г|з(л:, у)
алмаштиришлар ёрдамида
t
д1дц
д и Г ди д и \
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Параболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
битта ф(х, у ) = с умумий интегралга эга булиб, улар £ =
у),
ц = г\(х, у) — (г) ф га боглик булмаган ихтиёрий функция) алмаштириш ёрдамида
д 2и г /V ди ди
- = F ( l , Г], U,
дц2 V " ’ З Г д ц /
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Эллиптик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
интеграллари ушбу куринишга эга булади: ф(х, у) ±i\ (з(х, y ) = C i , 2,
бу ерда ц>(х, у) ва г|з(х, у) — хакикий функциялар. £ = ф (х, у),
ц = ^ (х , у) алмаштиришлар ёрдамида эллиптик турдаги тенгламалар ушбу
д 2и . д 2и
д £ д ц2
каноник шаклга келтирилади.
1 - м и с ол. Ушбу
г./с. ди ди \
4 - ^ j - + 8 - ^ ~ + 3 - ^ + — + 2 — = О д х2 д х ду ду дх
дифференциал тенгламани каноник куринишга келтиринг.
,2
Е ч и ш . Бунда А = 4 , 5 = 8 , С = 3, А С — f - = — 4 < 0 , демак,
452
www.ziyouz.com kutubxonasi
гиперболик турдаги тенгламага эгамиз. Тегишли характеристик
тенгламани тузамиз:
4 ( d y )2— 8dxdy + 3 (d x ) 2 = О
ёки
4 ^ ) 2_ 8 ^ + з = 0.
\ dx / dx
du du 4 ±2 - ' 3 , 1 v
~r~ ни топамиз: - + = — -— , бундан у = — ва у = —■ Характеdx dx 4 J v 2 J 2
3 1
ристик тенглама интеграллари: у — - х = С , ва у — - х = С2 эканли-
3 1
гини эътиборга олиб, £ = = у — —х, ц = у — - х узгарувчиларни алмаштиришни ба жарамиз. Эски узгарувчилар буйича хусусий хосилаларни янги узгарувчилар буйича хусусий хосилалар билан
ифодалаймиз:
ди __ ди 51 . ди 5т, ___ ди / 3 \ . ди / 1 \
дх 51 дх 5т| дх 51 \ 2 / 5т, \ 2 / ’
д и ___ди 51 . ди 5т,__ ди , ди
ду д\ ду 5т, ду 51 5т,
д2и _ 3 5 /5 ы \ 1 д / д и \ _
дх2 ~ 2 дх U l / 2 д х \ д ц ) ~
__ 3 / д2и д 2и <3г| \ 1 / д2и 51 . д и 5т, \ _
2 у дх 515т| дх J 2 \ 515т, дх дх J
_ 3 / 3 д 2и 1 д 2и \ 1 / 3 д \ 1 д2и \ _
_ “ Т \ Т df ~ ~ 2 515л ) 2 у 2 515г| 2 дц2
9 д2и . 3 д2и 1 д2и ,
4 a i2 2 515т, + 4 дц 2 '
д2и __ 5 / ди \ . д / ди \__
дхду дх \ 51 / дх \ 5т, )
_ д 2и 5т, . д2и 51 д2и 51 . д 2и дг\ __
515т, дх дх 5г|51 дх ' ^^2 д х
1 д2и 3 д2и 3 д2и 1 д 2и
2 515т, 2 2 5г)51 _ 2 ~
__ 3 ди 0 д2и 1 д 2и
= ___д_ ,
ду2 ду \ d l / ду \ д т, / ^2 ду ”<
www.ziyouz.com kutubxonasi
д 2и а и , с . и и . п д 2и . д 2и - и и
д 12 д %.дг\ д-ц2 '
Берилган дифференциал тенгламага иккинчи тартибли хосилалар
учун топилган ифодаларни куямиз:
Соддалаштиришдан кейин берилган тенглама ушбу
каноник куринишга (гиперболик тур) келтирилади.
13.1.3. Гиперболик турдаги ва параболик турдаги тенгламалар
купинча вакт давомида содир булувчи жараёнларни урганишда
кулланилади. Шу сабабли бу холларда изланаётган и функция
t вактга ва х координатага боглик булади, яъни и = и(х, t ) .
Куйилган масалани тулик хал этиш учун бу турдаги тенгламалар билан бирга чегаравий ва бошлангич шартлар хам берилган
булиши шарт.
Б о ш л а н г и ч ш а р т л а р / = 0 да изланаётган и функция ва
унинг хосиласи кийматининг берилишидан (гиперболик турдаги
тенгламалар учун) ёки функция кийматининггина берилишидан
(параболик турдаги тенгламалар учун) иборатдир.
Ч е г а р а в и й ш а р т л а р д а и(х, t) номаълум функциянинг
узгарувчи х ни узгариш оралигининг охирларидаги кийматлари
берилади.
Агар каралаётган жараён учун уз г а РУвчи х нинг узгариш
оралиги чексиз деб каралса, у холда масала факат бошлангич
шартлардагина ечилиб, и(х, t) функция учун чегаравий шартлар
куйилмайди. М а са л а да факат бошлангич шартлар берилса, бундай
масала Коши масаласи дейилади.
Агар масала чекли оралик учун куйилса, у холда бошлангич
шартлар хам, чегаравий шартлар хам берилиши керак. Бу холда аралаш масалага эга буламиз.
Эллиптик турдаги тенгламалар одатда стационар жараёнларга
тегишли масалалар каралаётганда кулланилади. Шунинг учун
t вакт бу тенгламаларда катнашмайди ва изланаётган ечим факат
координаталарга боглик булиб, масала чегаравий шартлардагина
www.ziyouz.com kutubxonasi
ечилади. Шартларнинг берилишига кура Дирихле масаласи,
Нейман масаласи ёки аралаш масалалар куйилиши мумкин.
13.1.4. Торнинг кундаланг тебранишлари хакидаги масалани
куриб чикайлик. Эркин эгила оладиган ингичка ип тор деб аталади.
Торнинг кичик кундаланг тебранишлари торнинг тебраниш тенгламаси (тулкин тенгламаси)
д2и __ 2 д2Ц
dt2 а дх2
ни каноатлантирувчи и = и(х, t) функция билан характерланади, бу
тенгламада х тор нуктаси координатаси, t — вакт, а 2 — тор тай ­
ёрланган материалнинг физик хоссаларини акс эттирувчи доимий.
Гиперболик турдаги тенгламага эгамиз. t = 0 пайтда торнинг
холати ы| (=о = Ф(х) ва тор нукталарининг тезлиги | , _ 0 = ^ ( х )
маълум булсин (Коши масаласи).
Торнинг тебранишлари тенгламасининг ечими ушбу куринишга
эга:
x-\-at
u(x t ) = t (, - a.) + T( ,+ 0,) + _ l ^ M x)dx
x — at
Бу формула тор тебраниш. тенгламаси учун Коши маейласининг
Даламбер ечими деб аталади.
2- м и с ол. и | ,=0= * 2, | ,=0= 0 булса,
dt2 дх2
тенглама ечимини топинг.
Е ч и ш. а = 1, ф(х) =х~, \|з(х) = 0 , шунга кура и =
бунда ф ( х ) = х 2. Шундай килиб, и = ёки u = x2-\-t2.
Ф(x — t) +ф (x + t)
1- дарсхона топшириш
1. Тенгламаларни каноник куринишга келтиринг:
а) х 2 * \ - у 2Ц = 0;
дх2 ду2
5 2z - 2 г> • 9 d 2Z n
б) — — sin л — 2ysinx ——-— \-у2— - = 0 ;
www.ziyouz.com kutubxonasi
V О U п О и , О и л
в ) — — 2 ^ Т 7 + — = а дхду ду‘
1 да
д 1 д ^ ~ 2 1 дц ’ drf ~ |2 + т)2 д1 ’ eg2 ' д ц
w . .ч О-и I ди _ Л 2g 5г . . <5*ц . a2u _ 0
Ж . а) ^ г = ^ ^ т > б) в) — + - и .
ди I „ _______ __ <52ы
тенглама
2. Агар и | , _ 0= 0 , — I t_ 0= x экани маълум булса,
= 4 - ^ - тенглама ечимини топинг. Ж : u = xt.
дх2
3. Агар и I = s i n ; t , ~ | = 1 булса, ' < = 0 dt l l - O 3 g t2 дл2 а2- ^ г
билан аникланувчи торнинг t = - ~ пайтдаги шаклини аникланг.
Ж : « = sinxcosa^ + /; агар булса, у х,олда ц = ~ - , яъни
тор абсциссалар укига параллел.


Torning majburiy tebranish tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli
chegaraviy masalani yechishning Fur’e usuli.
Ushbu usulni faqat torning erkin tebranish tenglamasiga emas, balki uning
majburiy tebranish tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy masalani yechishga ham
tatbiq etilishi mumkin [1,4].
Faraz qilaylik bizga torning majburiy tebranish tenglamasi
utt  a2uxx  f (x,t), 0  x  , t  0 (1.4.1)
ning

  

u x x x 
u x x
t ( ,0) ( ), 0
( ,0) ( )

 (1.4.2)
boshlang’ich shartlarni hamda
22

 

( , ) 0, 0
(0, ) 0
u t t
u t

(1.4.3)
bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin.
Ushbu masala yechimini u(x,t) funksiyning x bo’yicha Fur’ye qatori
ko’rinishida izlaymiz:


1
( , ) ( )sin
n
n
x
n
u x t u t
 
.
Xuddi shu kabi f (x,t), (x) va  (x) funksiyalarni ham Fur’e qatoriga
yoyamiz va bu qatorlarni va yechimning tanlangan Fur’e qatorini (1.4.1) ga qo’yib,
quyidagi tenglamaga kelamiz:
( ) ( ) ( )
2
"
un t n a un t  fn t
 


 
. (1.4.4)
Bunda un(t) va fn(t) bilan mos ravishda u(x,t) va f (x,t) funksiyalarning har bir
tayinlangan t da Fur’e koeffisientlari belgilangan.
(1.4.2) boshlang’ich shartlar fur’e qatorlariga yoyilgandan keyin
n n т т
u (0)  , u' (0)  . (1.4.5)
(1.4.5) shartlar asosida (1.4.4) differensial tenglama bir qiymatli yechiladi.
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim.
Ushbu masala noma’lum funksiyani
u(x,t)  w(x)  v(x,t)
ko’rinishda izlash bilan oldin o’rganilgan bir jinsli chegaraviy masalaga keltirish
mumkin. Haqiqatan ham yechimning izlangan shaklini berilgan tenglamaga qo’yib
vtt  a2vxx  a2w"(x)  f (x) .
Bunda w(x) funksiyani quyidagicha tanlaymiz:
a2w"(x)  f (x)  0, w(0)  A, w()  B .
Bu oddiy differensial tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasini yechib, topamiz:
f d ds
a
f d ds
x a
x
w x A B A
s x s
   
      
0 0
2
0 0
( ) ( ) 2  ( ) 1 ( )
 
.
U holda v(x,t) funksiya biz yuqorida qarab chiqqan quyidagi masalani
qanoatlantirishi kerak bo’ladi:
vtt  a2vxx, 0  x  , t  0

  
 
v x x x 
v x x w x
t ( ,0) ( ), 0
( ,0) ( ) ( )


v(0,t)  v(,t)  0 .
So’ngi masalani yechishni esa biz to’laligicha qarab chiqdik. Uni yechib, dastlabki
qo’yilgan masalaning yechimini ham topishimiz mumkin bo’ladi.
Yechimning ko’rinishidan uning masalaning boshlang’ich shartlaridan
uzluksiz bog’liqligi ko’rinib turibdi. Bu esa chegaraviy masala yechimining turgun
ekanligini isbotlaydi.
Eslatma. Ta’kidlash lozimki, tor tebranish tenglamasiga qo’yilgan 1-tur
chegaraviy maslani yechish jarayonida qo’llanilgan ushbu usulni 2-tur , 3-tur va
aralash masalalarni yechishga ham to’g’ridan-to’g’ri qo’llash mumkin. Bunda
asosiy farq Shturm-Liuvill masalasi chegaraviy shartlari o’zgarishi bilan uning xos
24
qiymatlari va xos funksiyalari o’zgarishi mumkin. Hosil bo’lgan yechim ko’rinishi
va unga mos Fur’e ko’rinishlari ham biroz o’zgarishi mumkin.
Biror [,] oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi f (x) funksiyaning Fur’e
qatori umumiy holda



  
1
0 cos sin
2
( )
n
n n
x
n
f x a a n x b
 
 
bo’lib, uning a0, an,bn, n N Fur’e koeffisientlari mos ravishda quyidagi
formulalar bilan aniqlanadi.
an f s n s ds bn f s n s ds
   
 
 
 
 
 
 1 ( )cos ,  1 ( )sin .
Berilgan chegaraviy shartga mos Shtuurm – Liuvill masalsi xos funksiyalariga mos
ravishda fur’e qatori tanlanadi.
Ikkinchi chegaraviy masala
Yarim to’g’ri chiziqdagi bir jinsli chegaraviy shart bilan berilgan ikkinchi
chegaraviy masala quyidagi ko’rinishga ega:
(1) , 0, 0 2
(2) (0, ) 0, 0;
(3) ( ,0) ( ), 0;
(4) ( ,0) ( ), 0.
tt xx
x t
u a U x t
u t t
u x x x
u x x x


   

  

  
   
Oldingi holdagiday harakat qilamiz. Lekin bizlarni faqat juft davom ettirish
qanoatlantiradi:
( ), 0;
( )
( ), 0.
x x
x
x x


 
  
  
( ), 0;
( )
( ), 0.
x x
x
x x
 
 
  
 
Yangi Koshi masalasi va uning uchun Dalamber formulasi bo’yicha yechimi
2-chi ma’ruzada ko’rsatganimzdek bo’ladi:
( ) .
1 2
2
( ) ( )
( , ) 
 
       x at
x at
d
a
x at x at
U x t  
Odlingi holdagidek, u(x,t) U (x,t), x, y  0 bo’lsin.
25
U holda (1), (3), (4) shartlarning bajarilishi ayon.
(2) shartni tekshiramiz. Dalamber formulasini differensiallasak va (t) juft
funksiyaning hosilasi toq funksiya bo’lishini inobatga olib, quyidagi tenglikni hosil
qilamiz:
[ ( ) ( )]
1 2
2
( ) ( )
(0, ) (0, ) at at
a
at at
u t U t
x  x          
(t) toqligidan va (t) juftligidan ko’rinadiki ikkala had ham nolga teng.
u(x,t) uchun umumiy formula shunga o’xshash olinadi.
[0,l] kesmada ortonormallashgan funksiyalar sistemalarini qaraymiz.
2
sin( ) , 1,2,3,... n x n
l l
    
  
   
1 2
cos( ) , 1,2,3,... n x n
l l l
    
  
   
Fur’ye koeffisiyentlarini
0
( )sin( ) ;
l
n
n
s s ds
 l
  

0
( )sin( ) .
l
n
n
s s ds
 l
  

kabi aniqlaymiz.
U holda matematik analiz kursidan ma’lumki, agar (x)C[a;b] bo’lsa, u
holda
1
2
n n
 , 
 
1
~ 2
n n

qatorlar yaqinlashadi. Buni eslab qolamiz va bir jinsli chegaraviy shartlar bilan
berilgan bir jinsli tebranish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaga
o’tamiz:
(1). ,0 , 0; 2
(2). (0, ) ( , ) 0, 0;
(3). ( ,0) ( ),0 ;
(4). ( ,0) ( ),0 .
tt xx
t
u a u x l t
u t u l t t
u x x x l
u x x x l


    
    

   
    
(1.4.6)
Uning yechimini quyidagi usul bilan topamiz: biror u(x,t) funksiyaga
keltiruvchi almashtirishlarni bajaramiz, so’ngra, ma’lum bir shartlarni
26
qanoatlantiruvchi (x) va  (x) funksiyalar uchun bu funksiya mavjud bo’lishini
va berilgan masala yechimi ekanligini isbotlaymiz.
Yechimni v(x,t)  X (x)T(t) ko’rinishda izlaymiz. Bu nolga aynan teng
bo’lmagan funksiya bo’lsin. v(x,t) ni tebranish tenglamasiga qo’yib, quyidagini
hosil qilamiz:
        
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
a T t
T t
X x
X x
T t X x a X x T t
bu yerda  qandaydir o’zgarmas son.
Bu ayniyatlardan ikkita tenglama kelib chiqadi:

   
    
( ) ( ) 0, 0.
( ) ( ) 0,0 ;
2
T t a T t t
X x X x x l
 
X (0)  X (l)  0 da v(x,t) funsiya (2) shartni qanoatlantiradi.
Quyidagi masalani qaraymiz.

 
    
(0) ( ) 0.
( ) ( ) 0,0 ;
X X l
X x X x x l
Shturm – Liuvill masalasining trivial bo’lmagan yechimlarni topamiz.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun yechimni chiqarishda, quyidagi
xos qiymatlar va ularga mos xos funksiyalar to’g’ri keladi (buni bizlar keyinchalik
ko’rsatamiz):
n n ( ) ; ( ) sin( ), 1,2,... n n 2 X x x n
l l
 
   
Topilgan n larni T (t) uchun tenglamaga qo’yamiz:
( ) ( )2 ( ) 0 ( ) cos( ) sin( at),
n l
at b
n l
a T t T t a
n l
T t
n n n n n
  
     
bu yerda an va bn lar qandaydir o’zgarmaslar.
Shunday qilib (1), (2) shartlar qanoatlantiradigan X n (x),Tn (t) funksiyalarni
topdik.
27
vn (x,t)  X n (x)Tn (t) deb olamiz. Ravshanki, bu funksiya uchun ham (1), (2)
shartlar bajariladi.


Foydalanilgan adabiyotlar:

1.Salohiddinov M. S. Matematik fizika tenglamalari, T. “Ozbekiston”, 2002,

448 b.
2. Salohiddinov M. S., Islomov B. I. Matematik fizika tenglamalari fanidan
masalalar to’plami, T. “Mumtoz so’z” , 2010, 372 b.
3. Zokirov O. S. Xususiy hosilali differensial tenglamalar.T. Universitet”2012,
260 b.
4. Begmatov A. H. Ochilov Z. H. Matematik fizika tenglamalari O’quvuslubiy majmua Samarqand - 2013, 552 b.
5. Бицадзе А. В. Калинеченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики. М. 1977 . 312 С.
6. Аладъев В. З. Системы компютерной математики: MAPLE : искусство
программирования.// М. Лаборатория базовых знаний, 2006 , 792 с.
7. Аладъев В. З. Бойко В. К, Ровба Е. А. Программирование и разработка
приложений в Maple .// Городно, Таллин, 2007, 458 с.
8. Говорухин В. Цибулин В. Компютер в математическом исследовании.
Учебный курс. Питер, 2001, 624 с.

Internet saytlari:

www.ziyonet.uz

www.aim.uz

www.kutubxona.uz