Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta

Eslatma.  Agar 

]

,

[

)

(

b

a

C

x

f



  funksiya 

]

,

[

b

a

  da  ishora  saqlamasa,  (1) 

integral egri chiziqli trapetsiyalar yuzalari-ning yig`indisidan iborat bo`ladi. Bunda 

OX

 o`qining yuqori-sidagi yuza musbat ishora bilan, 

OX

 o`qining pastdagi yuza 

manfiy ishora bilan olinadi. 

Masalan, 

OX

  o`qi hamda 



2

0

,

sin

)

(







x

x

x

f

  funksiya  grafigi bilan 

chegaralangan shaklning yuzi 

 

30 

4

)

cos

(

)

cos

(

)

sin

(

sin

)

(

2

0

2

0



































x

x

xdx

x

Q

 

bo`ladi.                                    

  3

0

.  Egri  chiziqli  sektorning  yuzini  hisoblash.  Aytaylik, 

B

A



  egri  chiziq 

qutb koordinatalar sistemasida ushbu              

)

,

(

,

)

(

R

R



























 

tenglama bilan berilgan bo`lsin. Bunda 

.

0

)

(

да

]

,

[

,

]

,

[

)

(



























C

 

Tekislikda 

B

A



  egri  chiziq  hamda 

OA

  va 

OB

  radius-vektorlar  bilan 

chegaralangan 

Q

 shaklni qaraymiz.            (14 -chizma). 

 

14- chizma 

 

]

,

[





 segmentni ixtiyoriy 

)

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0





























n

n

P

 

bo`laklashini  olamiz. 

O

  nuqtadan  har  bir  qutb  burchagi 

k



  ga  mos 

k

OA

  radius-

vektor o`tkazamiz. Natijada 

OAB

-egri chiziq-li sektor  





B

A

A

A

n

k

A

OA

n

k

k











,

;

1

,...,

2

,

1

,

0

0

1

 

egri chiziqli sektorchalarga ajraladi. 

Ravshanki, 

]

,

[

)

(











C





 

bo`lganligi uchun  

]

,

[

1



k

k





 da 

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(





n

k

 

)}

(

sup{

,

)}

(

inf{













k

k

M

m

 

lar mavjud. 

 

31 

Endi  har  bir 

]

,

[

1



k

k





  segment  uchun  radius-vektorlari  mos  ravishda 

k

m

 

hamda 

k

M

  bo`lgan  doiraviy  sektorlarni  hosil  qilamiz.  Bunday  doiraviy  sektorlar 

yuzaga ega bo`lib, ularning yuzi mos ravishda 

)

(

2

1

,

2

1

1

2

2

k

k

k

k

k

k

k

M

m





























 

bo`ladi. 

Radius-vektorlari 

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(





n

k

m

k

 bo`lgan barcha doiraviy sektorlar 

birlashmasidan hosil bo`lgan shaklni 

1

Q

 desak, unda  

Q

Q



1

 bo`lib, uning yuzi 













1

0

2

1

2

1

)

(

n

k

k

k

m

Q





                          (3) 

bo`ladi. 

Shuningdek,  radius-vektorlari 

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(





n

k

M

k

  bo`l-gan  barcha 

doiraviy  sektorlar  birlashmasidan  hosil  bo`lgan  shaklni 

2

Q

  desak,  unda 

2

Q

Q



 

bo`lib, uning yuzi 













1

0

2

2

2

1

)

(

n

k

k

k

M

Q





                        (4) 

bo`ladi.  

(3) va (4) yig`indilar 

)

(

2

1

2





 funksiyaning Darbu yig`indilari bo`ladi. Ayni 

paytda, 

)

(

2

1

2





funksiya 

]

,

[





 da uzluksiz bo`lgani uchun u integrallanuvchidir. 

Demak, 

0







  olinganda  ham 

]

,

[





  segmentning  shunday 

P

  bo`laklashi 

topiladiki, 















)

);

(

2

1

(

)

);

(

2

1

(

2

2

P

s

P

S

 

bo`ladi. Binobarin, ushbu 











)

(

)

(

1

2

Q

Q

 

tengsizlik  bajariladi.  Bu  esa,  2-teoremaga  muvofiq,  qaralayotgan  egri  chiziqli 

sektorning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra 









)

(

inf

)

(

sup

2

1

Q

Q







 

 

32 

bo`ladi.  

Ayni paytda,  





















,

)

(

)

(

sup

2

1

d

Q

 





















d

Q

)

(

)

(

inf

2

2

 

bo`lgani sababli 

Q

 egri chiziqli sektorning yuzi 

















d

Q

)

(

2

1

)

(

2

 

ga teng bo`ladi.  

3-misol. Ushbu 

)

2

0

,

(

)

cos

1

(

)

(

























R

a

a

 

funksiya grafigi bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.  

◄ Bu funksiya grafigi kardioidani ifodalaydi. Ma’lumki, kardioida radiusi 

r

 

ga  teng  bo`lgan  aylananing  shu  radiusli  ikkinchi  qo`zg`almas  aylana  bo`ylab 

xarakati (sirpanmasdan dumalashi) natijasida birinchi aylana ixtiyoriy nuqtasining 

chizgan chizig`idir. (15-chizma).   

 

Kardioida  qutb  o`qiga  nisbatan  simmetrik  bo`lganligi  sababli  yuqori  yarim 

tekislikdagi  shaklning  yuzini  topib,  so`ngra  uni  2  ga  ko`paytirsak,  izlanayotgan 

yuza kelib chiqadi.  



 o`zgaruvchi 

]

,

0

[



 da o`zgarganda 



 radius-vektor kardioidaning yuqori 

yarim tekislikdagi qismini chizadi. Shuning uchun 

 

33 































0

2

2

0

2

)

cos

1

(

)

(

2

1

2

)

(

d

a

d

Q

 

2

0

2

0

2

2

3

)

2

sin

2

1

2

1

sin

2

2

3

(

2

cos

2

1

cos

2

2

3

a

a

d

a















































 

bo`ladi. ► 

 

 

4. Yoy uzunligi va uni hisoblash 

 

1

0

.  Yoy  uzunligi  tushunchasi.  Ma’lumki,  tekislikdagi  ikki 

)

,

(

1

1

y

x

A

 

va

)

,

(

2

2

y

x

B

  nuqtalarni  birlashtiruvchi  to`g`ri  chiziq  kesmasi 

0

l

  uzunlikka  ega 

va uning uzunligi  

2

1

2

2

1

2

0

)

(

)

(

)

(

y

y

x

x

l











 

ga teng bo`ladi. 

Aytaylik,  tekislikdagi 

l

  chiziq 

...,

,

)

,

(

),

,

(

1

1

1

0

0

0

y

x

A

y

x

A

 

)

,

(

n

n

n

y

x

A

    nuqtalarni 

)

(

N

n



  birin-ketin  to`g`ri  chiziq  kesmalari  bilan  birlashtirishidan  hosil  bo`lgan 

bo`lsin. Odatda, bunday chiziq siniq chiziq deyiladi. 

Siniq  chiziq  uzunligi  (perimetri)  deb,  uni  tashkil  etgan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari uzunliklarining yig`indisiga aytiladi: 

.

)

(

)

(

)

(

1

0

2

1

2

1



















n

k

k

k

k

k

y

y

x

x

l



 

Faraz  qilaylik,  tekislikdagi 

B

A



  egri  chizig`i    (uni   

B

A



    yoyi  deb  ham 

ataymiz)  ushbu 

)

(

)

(

b

x

a

x

f

y







 

tenglama bilan berilgan bo`lsin, bunda  

]

,

[

)

(

b

a

C

x

f



. 

 

34 

 

]

,

[

b

a

   segmentning ixtiyoriy 

b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n













...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

 

bo`laklashni olib, bo`luvchi 

)

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k

x

k



 nuqtalar orqali  

OY

 o`qiga parallel 

to`g`ri  chiziqlar  o`tkazamiz.  Bu  to`g`ri  chiziqlarning 

B

A



  yoyi  bilan  kesishgan 

nuqtalari 

)

,

;

,...,

2

,

1

,

0

(

))

(

,

(

0

B

A

A

A

n

k

x

f

x

A

n

k

k

k







 

bo`ladi. 

B

A



  yoyidagi  bu   

))

(

,

(

k

k

k

x

f

x

A

    nuqtalarni  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari yordamida birlashtirib, 

l

 siniq chiziqni hosil qilamiz. (16-chizma) 

Odatda, 

l

  siniq  chiziq   

B

A



  yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq  deyiladi.  U 

uzunlikka ega bo`lib, uzunligini (perimetrini)  

)

(l



 deylik. 

Agar 

1

P

  va 

2

P

  lar 

]

,

[

b

a

  segmentning  ikkita  bo`laklashi  bo`lib, 

2

1

P

P



 

bo`lsa,  u  holda  bu  bo`laklashlarga  mos 

B

A



  yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq 

2

1

, l

l

 

larning perimetrlari uchun  

)

(

)

(

2

1

l

l







 

bo`ladi. 

◄

]

,

[

b

a

 segmentning 

1

P

 bo`laklashi quyidagi 

)

...

...

(

}

,...,

,

,...,

,

{

1

1

0

1

1

0

1

b

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

P

n

k

k

n

k

k























 

ko`rinishda bo`lib, 

2

P

 bo`laklash esa 

1

P

 bo`laklashning barcha bo`luvchi nuqtalari 

hamda  qo`shimcha  bitta 

]

,

[

*

b

a

x



  nuqtani  qo`shish  natijasida  hosil  bo`lgan 

 

35 

bo`laklash  bo`lsin.  Bu 

*

x

  nuqta 

k

x

  hamda 

1



k

x

  nuqtalar  orasida  joylashsin: 

.

1









k

k

x

x

x

   Demak, 

}

,...,

,

,

,...,

,

{

1

1

0

2

n

k

k

x

x

x

x

x

x

P







 

)

...

...

(

1

1

0

b

x

x

x

x

x

x

a

n

k

k























 

Ravshanki,  

2

1

P

P



  bo`ladi. 

B

A



    yoyiga  chizilgan   

1

P

  bo`laklashga  mos  siniq  chiziq   

1

l

,  shu  yoyga 

chizilgan 

2

P

 bo`laklashga mos siniq chiziq 

2

l

 dan faqatgina bitta bo`lagi bilangina 

farq qiladi: 

1

l

 da 

1



k

k

A

A

  bo`lak bo`lgan holda 

2

l

 da ikkita 

*

A

A

k

 hamda 

1

*



k

A

A

 

bo`laklar bo`ladi. 

Ammo 

1



k

k

A

A

  to`g`ri  chiziq  kesmasining  uzunligi 

)

(

1



k

k

A

A



,     

*

A

A

k

 

hamda 

1

*



k

A

A

  kesmalar  uzunliklari 

)

(

,

)

(

1

*

*



k

k

A

A

A

A





  yig`indisidan  har 

doim katta bo`lmaganligi, ya’ni 

)

(

)

(

)

(

1

*

*

1









k

k

k

k

A

A

A

A

A

A







 

uchun 

                                     

)

(

)

(

2

1

l

l







                  

bo`ladi. ► 

Demak, 

P

  bo`laklashning  bo`luvchi  nuqtalari  sonini  orttira  borilsa, 

B

A



 

yoyiga chizilgan ularga mos siniq chiziqlar perimetrlari ham ortib boradi.