Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta


 Aniq integralning bazi tadbiqlari



Download 0,99 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/7
Sana17.12.2019
Hajmi0,99 Mb.
#30625
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
aniq integralni taqribiy hisoblash va uning tadbiqlari


3. Aniq integralning bazi tadbiqlari  

 

Tekis shaklning yuzi tushunchasi. Ma’lumki, 

)

,



(

y

x

 juftlik, 

)

,

(



R

y

R

x



tekislikda nuqtani ifodalaydi. Koordinatalari ushbu  

)

,

,



,

(

,



R

d

R

c

R

b

R

a

d

y

c

b

x

a







 

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tekislik nuqtalaridan hosil bo`lgan 

0

D

 to`plam : 

]}

,

[



],

,

[



);

,

{(



0

d

c

y

b

a

x

y

x

D



 

to`g`ri to`rtburchak deyiladi (8-chizma) 



 

Bu  to`g`ri  to`rtburchakning  tomonlari  (chegaralari)  mos  ravishda 

koordinatalar o`qiga parallel bo`ladi. 

0

D

 to`g`ri to`rtburchakning yuzi deb (uning chegarasining, ya’ni  

)

(



,

),

(



,

b

x

a

d

y

c

y

d

y

c

b

x

a

x







 

to`g`ri  chiziq  kesmalarining 

0

D

  ga  tegishli  bo`lishi  yoki  tegishli  bo`lmasligidan 

qat’iy nazar) ushbu 

)

(



)

(

)



(

0

c



d

a

b

D





 

miqdorga aytiladi. 

Aytaylik, tekislik nuqtalaridan iborat biror 

Q

  to`plam berilgan bo`lsin. 

Agar shunday 

0

D

 to`g`ri to`rtburchak topilsaki, 

0

D



Q

 



bo`lsa, 

Q

 chegaralangan to`plam deyiladi. 

Har  qanday  chegaralangan    tekislik  nuqtalaridan  iborat  to`plam  tekis  shakl 

deyiladi. 



 

23 


Agar  tekis  shakl  chekli  sondagi  kesishmaydigan  to`g`ri  to`rtburchaklarning 

birlashmasi sifatida ifodalansa, uni to`g`ri ko`pburchak deymiz.(9-chizma) 

 

 

Bunday  to`g`ri  ko`pburchakning  yuzi  deb,  uni  tashkil  etgan  to`g`ri 



to`rtburchaklar yuzalari yig`indisiga aytiladi. 

To`g`ri ko`pburchak yuzi quyidagi xossalarga ega: 

1) To`g`ri ko`pburchak yuzi har doim manfiy bo`lmaydi:  

;

0



)

(



D

      



2) Kesishmaydigan ikki 

1

 va 

2

 to`g`ri ko`pburchaklar-dan tashkil topgan 

to`g`ri ko`pburchak yuzi 

1

 va 

2

 larning yuzalari yig`indisiga teng: 

;

)

(



)

(

)



(

2

1



2

1

D



D

D

D





 

3) Agar 



1

 va 

2

 to`g`ri ko`pburchaklar uchun 

2

1

D



D

 



bo`lsa, u holda 

)

(



)

(

2



1

D

D



 

bo`ladi. 



Tekislikda  biror  chegaralangan 

Q

  shakl  berilgan  bo`lsin.  Bu  shaklning 

ichiga 

A

  to`g`ri  ko`pburchak 

)

(

Q



A

,  so`ngra 



Q

  shaklni  o`z  ichiga  olgan 



B

 

to`g`ri ko`pburchak 



)

(

B



Q

 lar chizamiz. Ularning yuzlari mos ravishda 



)

A

 va 


)

(B

 bo`lsin. 



 

24 


Ravshanki, bunday to`g`ri ko`pburchaklar ko`p bo`lib, ularning yuzalaridan 

iborat {


)

A

} va {


)

(B

} to`plamlar hosil bo`ladi. 



Ayni paytda, bu sonli to`plamlar chegaralangan bo`ladi. Binobarin, ularning 

aniq chegaralari 

)}

(

inf{



)},

(

sup{



B

A



 

lar mavjud. 



1-ta’rif. Agar 

)}

(



inf{

)}

(



sup{

B

A



 

bo`lsa, 



Q

 shakl yuzaga ega deyiladi. Ularning umumiy qiymati 



Q

 shaklning yuzi 

deyiladi va 

)

(Q



 kabi belgilanadi: 

)}

(

inf{



)}

(

sup{



)

(

B



A

Q





 

1-teorema. Tekis shakl 

Q

 yuzaga ega bo`lish uchun 

0





 son olinganda 

ham  shunday 

)

(



Q

A

A

  va 



)

(

B



Q

B

  to`g`ri  ko`pburchaklar  topilib,  ular 



uchun 





)

(

)



(

A

B

 

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 



◄ Zarurligi. Aytaylik, 

Q

shakl yuzaga ega bo`lsin. Unda ta’rifga binoan 

)

(

)}



(

inf{


)}

(

sup{



Q

B

A





 

bo`ladi. 

Modomiki, 

)

(



)}

(

inf{



),

(

)}



(

sup{


Q

B

Q

A





 

ekan, unda 



0



 olinganda ham shunday to`g`ri ko`pburchak 

)

(

Q



A

A

 hamda 



shunday to`g`ri ko`pburchak  

)

(



B

Q

B

 topiladiki, 



2

)

(



)

(

,



2

)

(



)

(









Q

B

A

Q

 

bo`ladi. Bu tengsizliklardan 



 

25 




)



(

)

(



A

B

 

bo`lishi kelib chiqadi. 



Yetarliligi.  Aytaylik, 

)

(



Q

A

A

  va 



)

(

B



Q

B

  to`g`ri  ko`pburchaklar 



uchun 





)

(

)



(

A

B

 tengsizligi bajarilsin. 

Ravshanki, 

.

}



)

(

inf{



)

(

,



)}

(

sup{



)

(

B



B

A

A





 

Bu munosabatlardan 









)

(

)



(

)}

(



sup{

)}

(



inf{

A

B

A

B

 

bo`lishini topamiz.    



-ixtiyoriy musbat son bo`lganligidan 

)}

(

inf{



)}

(

sup{



B

A



 

bo`lishi kelib chikadi. Demak, 



Q

 shakl yuzaga ega. ► 

Shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi. 

2-teorema. Tekis shakl 

Q

 yuzaga ega bo`lishi uchun 

0





 son olinganda 

ham shunday yuzaga ega tekis shakllar 

P

 va 


S

  lar  


)

,

(



S

Q

Q

P



 topilib, ular 

uchun 


                                      





)

(

)



(

P

S

 

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 



2

0

.  Egri  chizikli  trapetsiyaning    yuzini    hisoblash.  Faraz  qilaylik, 

]

,



[

)

(



b

a

C

x

f

 bo`lib, 



]

,

b



a

x



  da 

0

)



(



x



f

 bo`lsin. 

Yuqoridan 

)

(x



f

  funksiya  grafigi,  yon  tomonlardan 



b

x

a

x



,

  vertikal 

chiziqlar hamda pastdan absissa o`qi bilan chegaralangan 

Q

 shaklni qaraylik. (10-

chizma) 

 


 

26 


10-chizma 

Odatda, bu shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi.  

]

,

[



b

a

 segmentni ixtiyoriy   

)

...


(

}

,...,



,

,

{



2

1

0



2

1

0



b

x

x

x

x

a

x

x

x

x

P

n

n





 



bo`laklashni olamiz. Bu bo`laklashning har bir 

]

,



[

1



k

k

x

x

  oralig`ida  

            

k

k

M

x

f

m

x

f



)}

(

sup{



,

)}

(



inf{

   


)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

 

 



mavjud bo`ladi. 

Endi asosi 



k

k

k

x

x

x



1



, balandligi 

k

m

 bo`lgan 

)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

 to`g`ri 

to`rtburchaklarning birlashmasidan tash-kil topgan to`g`ri ko`pburchakni 

A

 deylik. 

Shuningdek, 

asosi 


k

k

k

x

x

x



1



balandligi 



k

M

 

bo`lgan 



)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

 to`g`ri to`rtburchaklarning birlashmasidan tashkil topgan to`g`ri 

ko`pburchakni 

B

 deylik. Ravshanki,  



B

Q

Q

A



,

 

bo`lib, ularning yuzalari 











1

0

1



0

)

(



,

)

(



n

k

n

k

k

k

k

k

x

M

B

x

m

A



 

bo`ladi. 

Bu  yig`indilarni 

)

(x



f

    funksiyaning 

]

,

[



b

a

  segmentining 



P

  bo`laklashiga 

nisbatan Darbuning quyi hamda yuqori  yig`indilari ekanini payqash qiyin emas: 

).

;



(

)

(



,

)

;



(

)

(



P

f

S

B

P

f

s

A



 



]

,

[



)

(

b



a

C

x

f

  bo`lgani  uchun 



)

(x



f

  funksiya 

]

,

[



b

a

  da  integralla-nuvchi  bo`ladi. 

Unda  integrallanuvchilik  mezoniga  ko`ra,   

0



  olinganda  ham 



]

,

[



b

a

 

segmentning shunday 



P

 bo`laklashi topiladiki, 





)

;

(



)

;

(



P

f

s

P

f

S

 

bo`ladi. Birobarin, ushbu 





)



(

)

(



A

B

 

tengsizlik  bajariladi.  Bu  esa,  1-teoremaga  muvofiq,  qaralayotgan  egri  chiziqli 



trapetsiyaning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra 

)}

(



inf{

)}

(



sup{

B

A



 


 

27 


bo`ladi. 

Ayni paytda, 







b

a

b

a

dx

x

f

B

dx

x

f

A

)

(



)}

(

inf{



,

)

(



)}

(

sup{



 



bo`lganligi sababli 

Q

 egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 



b



a

dx

x

f

Q

)

(



)

(



                             (1) 

ga teng bo`ladi. 



1-misol. Tekislikda ushbu 

1

2



2

2

2





b



y

a

x

 

ellips bilan chegaralangan 



Q

 shaklning yuzi topilsin. 

◄Ellips  bilan  chegaralangan 

Q

  shaklning  yuzi 



OX

  va 


OY

  koordinata 

o`qlari hamda 

a

x

a

x

b

x

f





0

,

1



)

(

2



2

 

chiziqlar  bilan  chegaralangan  egri  chiziqli  trapetsiya  yuzi-ning  4  tasiga  teng 



bo`ladi.  (11-chizma ).  

 

 



Unda  (1)  formuladan foydalanib topamiz: 

 


 

28 










,

cos



2

0

,



sin

4

1



4

)

(



0

2

2



0

2

2



tdt

a

dx

t

t

a

x

dx

x

a

a

b

dx

a

x

b

Q

a

a



 





2

0



2

2

.



4

4

cos



4





ab

ab

tdt

a

a

b

► 

Aytaylik, 



]

,

[



)

(

,



]

,

[



)

(

2



1

b

a

C

x

f

b

a

C

x

f



 bo`lib, 

]

,



b

a

x



 da 

)

(



)

(

0



2

1

x



f

x

f



 

bo`lsin. 

Tekislikdagi 

Q

 shakl quyidagi 



b

x

a

x

x

f

y

x

f

y



,



,

)

(



,

)

(



2

1

 



chiziqlar bilan chegaralangan shaklni ifodalasin (12-chizma) 

 

 



 

Bu shaklning yuzi 









b

a

b

a

b

a

dx

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

Q

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

1



2

1

2



          (2) 

bo`ladi. 

2-misol. Tekislikda ushbu 


 

29 


x

x

y

x

y

2

,



4

2

2





 

chiziqlar (parabolalar) bilan chegaralangan 



Q

 shaklning yuzi topilsin. 

◄ Parabolalarning tenglamalari 

x

x

y

x

y

2

,



4

2

2





 

ni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalarini topamiz: 



).

0

;



2

(

,



)

3

;



1

(

:



0

,

3



;

2

,



1

,

2



4

2

1



2

1

2



2

B

A

y

y

x

x

x

x

x







 

(13 -chizma). 



 

 

Bu shaklning yuzini (2) formuladan foydalanib hisob-laymiz: 





.

9



)

3

2



4

(

2



2

4

)



2

(

)



4

(

)



(

2

1



3

2

2



1

2

2



1

2

2















x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

Q

► 



Download 0,99 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish