3. Aniq integralning bazi tadbiqlari
Tekis shaklning yuzi tushunchasi. Ma’lumki,
)
,
(
y
x
juftlik,
)
,
(
R
y
R
x
,
tekislikda nuqtani ifodalaydi. Koordinatalari ushbu
)
,
,
,
(
,
R
d
R
c
R
b
R
a
d
y
c
b
x
a
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tekislik nuqtalaridan hosil bo`lgan
0
D
to`plam :
]}
,
[
],
,
[
);
,
{(
0
d
c
y
b
a
x
y
x
D
to`g`ri to`rtburchak deyiladi (8-chizma)
Bu to`g`ri to`rtburchakning tomonlari (chegaralari) mos ravishda
koordinatalar o`qiga parallel bo`ladi.
0
D
to`g`ri to`rtburchakning yuzi deb (uning chegarasining, ya’ni
)
(
,
),
(
,
b
x
a
d
y
c
y
d
y
c
b
x
a
x
to`g`ri chiziq kesmalarining
0
D
ga tegishli bo`lishi yoki tegishli bo`lmasligidan
qat’iy nazar) ushbu
)
(
)
(
)
(
0
c
d
a
b
D
miqdorga aytiladi.
Aytaylik, tekislik nuqtalaridan iborat biror
Q
to`plam berilgan bo`lsin.
Agar shunday
0
D
to`g`ri to`rtburchak topilsaki,
0
D
Q
bo`lsa,
Q
chegaralangan to`plam deyiladi.
Har qanday chegaralangan tekislik nuqtalaridan iborat to`plam tekis shakl
deyiladi.
23
Agar tekis shakl chekli sondagi kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklarning
birlashmasi sifatida ifodalansa, uni to`g`ri ko`pburchak deymiz.(9-chizma)
Bunday to`g`ri ko`pburchakning yuzi deb, uni tashkil etgan to`g`ri
to`rtburchaklar yuzalari yig`indisiga aytiladi.
To`g`ri ko`pburchak yuzi quyidagi xossalarga ega:
1) To`g`ri ko`pburchak yuzi har doim manfiy bo`lmaydi:
;
0
)
(
D
2) Kesishmaydigan ikki
1
D va
2
D to`g`ri ko`pburchaklar-dan tashkil topgan
to`g`ri ko`pburchak yuzi
1
D va
2
D larning yuzalari yig`indisiga teng:
;
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
D
D
D
D
3) Agar
1
D va
2
D to`g`ri ko`pburchaklar uchun
2
1
D
D
bo`lsa, u holda
)
(
)
(
2
1
D
D
bo`ladi.
Tekislikda biror chegaralangan
Q
shakl berilgan bo`lsin. Bu shaklning
ichiga
A
to`g`ri ko`pburchak
)
(
Q
A
, so`ngra
Q
shaklni o`z ichiga olgan
B
to`g`ri ko`pburchak
)
(
B
Q
lar chizamiz. Ularning yuzlari mos ravishda
)
( A
va
)
(B
bo`lsin.
24
Ravshanki, bunday to`g`ri ko`pburchaklar ko`p bo`lib, ularning yuzalaridan
iborat {
)
( A
} va {
)
(B
} to`plamlar hosil bo`ladi.
Ayni paytda, bu sonli to`plamlar chegaralangan bo`ladi. Binobarin, ularning
aniq chegaralari
)}
(
inf{
)},
(
sup{
B
A
lar mavjud.
1-ta’rif. Agar
)}
(
inf{
)}
(
sup{
B
A
bo`lsa,
Q
shakl yuzaga ega deyiladi. Ularning umumiy qiymati
Q
shaklning yuzi
deyiladi va
)
(Q
kabi belgilanadi:
)}
(
inf{
)}
(
sup{
)
(
B
A
Q
1-teorema. Tekis shakl
Q
yuzaga ega bo`lish uchun
0
son olinganda
ham shunday
)
(
Q
A
A
va
)
(
B
Q
B
to`g`ri ko`pburchaklar topilib, ular
uchun
)
(
)
(
A
B
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik,
Q
shakl yuzaga ega bo`lsin. Unda ta’rifga binoan
)
(
)}
(
inf{
)}
(
sup{
Q
B
A
bo`ladi.
Modomiki,
)
(
)}
(
inf{
),
(
)}
(
sup{
Q
B
Q
A
ekan, unda
0
olinganda ham shunday to`g`ri ko`pburchak
)
(
Q
A
A
hamda
shunday to`g`ri ko`pburchak
)
(
B
Q
B
topiladiki,
2
)
(
)
(
,
2
)
(
)
(
Q
B
A
Q
bo`ladi. Bu tengsizliklardan
25
)
(
)
(
A
B
bo`lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik,
)
(
Q
A
A
va
)
(
B
Q
B
to`g`ri ko`pburchaklar
uchun
)
(
)
(
A
B
tengsizligi bajarilsin.
Ravshanki,
.
}
)
(
inf{
)
(
,
)}
(
sup{
)
(
B
B
A
A
Bu munosabatlardan
)
(
)
(
)}
(
sup{
)}
(
inf{
A
B
A
B
bo`lishini topamiz.
-ixtiyoriy musbat son bo`lganligidan
)}
(
inf{
)}
(
sup{
B
A
bo`lishi kelib chikadi. Demak,
Q
shakl yuzaga ega. ►
Shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
2-teorema. Tekis shakl
Q
yuzaga ega bo`lishi uchun
0
son olinganda
ham shunday yuzaga ega tekis shakllar
P
va
S
lar
)
,
(
S
Q
Q
P
topilib, ular
uchun
)
(
)
(
P
S
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
2
0
. Egri chizikli trapetsiyaning yuzini hisoblash. Faraz qilaylik,
]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
bo`lib,
]
,
[ b
a
x
da
0
)
(
x
f
bo`lsin.
Yuqoridan
)
(x
f
funksiya grafigi, yon tomonlardan
b
x
a
x
,
vertikal
chiziqlar hamda pastdan absissa o`qi bilan chegaralangan
Q
shaklni qaraylik. (10-
chizma)
26
10-chizma
Odatda, bu shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi.
]
,
[
b
a
segmentni ixtiyoriy
)
...
(
}
,...,
,
,
{
2
1
0
2
1
0
b
x
x
x
x
a
x
x
x
x
P
n
n
bo`laklashni olamiz. Bu bo`laklashning har bir
]
,
[
1
k
k
x
x
oralig`ida
k
k
M
x
f
m
x
f
)}
(
sup{
,
)}
(
inf{
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k
mavjud bo`ladi.
Endi asosi
k
k
k
x
x
x
1
, balandligi
k
m
bo`lgan
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k
to`g`ri
to`rtburchaklarning birlashmasidan tash-kil topgan to`g`ri ko`pburchakni
A
deylik.
Shuningdek,
asosi
k
k
k
x
x
x
1
,
balandligi
k
M
bo`lgan
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k
to`g`ri to`rtburchaklarning birlashmasidan tashkil topgan to`g`ri
ko`pburchakni
B
deylik. Ravshanki,
B
Q
Q
A
,
bo`lib, ularning yuzalari
1
0
1
0
)
(
,
)
(
n
k
n
k
k
k
k
k
x
M
B
x
m
A
bo`ladi.
Bu yig`indilarni
)
(x
f
funksiyaning
]
,
[
b
a
segmentining
P
bo`laklashiga
nisbatan Darbuning quyi hamda yuqori yig`indilari ekanini payqash qiyin emas:
).
;
(
)
(
,
)
;
(
)
(
P
f
S
B
P
f
s
A
]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
bo`lgani uchun
)
(x
f
funksiya
]
,
[
b
a
da integralla-nuvchi bo`ladi.
Unda integrallanuvchilik mezoniga ko`ra,
0
olinganda ham
]
,
[
b
a
segmentning shunday
P
bo`laklashi topiladiki,
)
;
(
)
;
(
P
f
s
P
f
S
bo`ladi. Birobarin, ushbu
)
(
)
(
A
B
tengsizlik bajariladi. Bu esa, 1-teoremaga muvofiq, qaralayotgan egri chiziqli
trapetsiyaning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra
)}
(
inf{
)}
(
sup{
B
A
27
bo`ladi.
Ayni paytda,
b
a
b
a
dx
x
f
B
dx
x
f
A
)
(
)}
(
inf{
,
)
(
)}
(
sup{
bo`lganligi sababli
Q
egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b
a
dx
x
f
Q
)
(
)
(
(1)
ga teng bo`ladi.
1-misol. Tekislikda ushbu
1
2
2
2
2
b
y
a
x
ellips bilan chegaralangan
Q
shaklning yuzi topilsin.
◄Ellips bilan chegaralangan
Q
shaklning yuzi
OX
va
OY
koordinata
o`qlari hamda
a
x
a
x
b
x
f
0
,
1
)
(
2
2
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzi-ning 4 tasiga teng
bo`ladi. (11-chizma ).
Unda (1) formuladan foydalanib topamiz:
28
,
cos
2
0
,
sin
4
1
4
)
(
0
2
2
0
2
2
tdt
a
dx
t
t
a
x
dx
x
a
a
b
dx
a
x
b
Q
a
a
2
0
2
2
.
4
4
cos
4
ab
ab
tdt
a
a
b
►
Aytaylik,
]
,
[
)
(
,
]
,
[
)
(
2
1
b
a
C
x
f
b
a
C
x
f
bo`lib,
]
,
[ b
a
x
da
)
(
)
(
0
2
1
x
f
x
f
bo`lsin.
Tekislikdagi
Q
shakl quyidagi
b
x
a
x
x
f
y
x
f
y
,
,
)
(
,
)
(
2
1
chiziqlar bilan chegaralangan shaklni ifodalasin (12-chizma)
Bu shaklning yuzi
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
x
f
dx
x
f
dx
x
f
Q
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
(2)
bo`ladi.
2-misol. Tekislikda ushbu
29
x
x
y
x
y
2
,
4
2
2
chiziqlar (parabolalar) bilan chegaralangan
Q
shaklning yuzi topilsin.
◄ Parabolalarning tenglamalari
x
x
y
x
y
2
,
4
2
2
ni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalarini topamiz:
).
0
;
2
(
,
)
3
;
1
(
:
0
,
3
;
2
,
1
,
2
4
2
1
2
1
2
2
B
A
y
y
x
x
x
x
x
(13 -chizma).
Bu shaklning yuzini (2) formuladan foydalanib hisob-laymiz:
.
9
)
3
2
4
(
2
2
4
)
2
(
)
4
(
)
(
2
1
3
2
2
1
2
2
1
2
2
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
Q
►
Do'stlaringiz bilan baham: |