4
0
. Bo`laklab integrallash formulasi. Aytaylik ,
)
(x
u
va
)
(x
v
funksiyalarning har biri
]
,
[
b
a
segmentda uzluksiz
)
(
/
x
u
va
)
(
/
x
v
hosilalarga ega
bulsin. U holda
b
a
b
a
b
a
x
du
x
v
x
v
x
u
x
dv
x
u
)
(
)
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
(5)
bo`ladi.
◄ Hosilani hisoblash qoidasiga ko`ra
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
/
/
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
bo`ladi.
Demak,
)
(
)
(
x
v
x
u
funksiya
]
,
[
b
a
oraliqda
)
(
)
(
)
(
)
(
/
/
x
v
x
u
x
v
x
u
funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi. Nyuton-
Leybnits formulasidan foydalanib topamiz:
b
a
b
a
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
))
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
/
/
.
Keyingi tenglikdan
b
a
b
a
b
a
x
du
x
v
x
v
x
u
x
dv
x
u
)
(
)
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
bo`lishi kelib chiqadi. ►
(5) formula aniq integrallarda bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.
3-misol. Ushbu
2
1
ln xdx
x
integral hisoblansin.
◄ Bu intervalda
x
x
dv
x
x
u
,
ln
deb
2
,
1
2
x
x
v
dx
x
x
du
bo`lishini topamiz. Unda (5) formulaga ko`ra:
12
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
4
3
2
ln
2
2
1
2
ln
2
1
2
)
ln
2
(
ln
xdx
dx
x
x
x
x
xdx
x
bo`ladi. ►
4-misol. Ushbu
2
0
sin
xdx
J
n
n
,...)
2
,
1
,
0
(
n
integral hisoblansin.
◄ Ravshanki,
2
0
0
2
dx
J
,
1
)
cos
(
sin
2
0
2
0
1
x
xdx
J
.
2
n
bo`lganda berilgan integralni
2
0
2
0
1
)
cos
(
sin
sin
x
d
x
xdx
J
n
n
n
ko`rinishida yozib, unga bo`laklab integrallash formulasini qo`llaymiz. Natijada
n
n
n
n
n
n
n
n
J
n
J
n
xdx
n
xdx
n
dx
x
x
n
xdx
x
n
x
x
J
)
1
(
)
1
(
sin
)
1
(
sin
)
1
(
)
sin
1
(
sin
)
1
(
cos
sin
)
1
(
)
cos
sin
(
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
1
bo`lib, undan ushbu
2
1
n
n
J
n
n
J
rekurrent formula kelib chikadi.
Bu formula yordamida berilgan integralni
,........
3
,
2
,
1
n
bo`lganda ketma-
ket hisoblash mumkin.
Aytaylik,
m
n
2
- juft son bo`lsin. Unda
2
!
)!
2
(
!
)!
1
2
(
2
1
4
3
6
5
......
2
2
3
2
2
1
2
0
2
m
m
J
m
m
m
m
J
m
13
bo`ladi.
Aytaylik,
1
2
m
n
- toq son bo`lsin. Unda
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
3
2
5
4
7
6
......
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
m
m
J
m
m
m
m
J
m
bo`ladi.
!
!
(m simvol
m
dan katta bo`lmagan va u bilan bir xil juftlikka ega bo`lgan
natural sonlarning ko`paytmasini bildiradi.) ►
5
0
. Vallis formulasi. Ma’lumki,
2
0
x
bo`lganda
,...)
3
,
2
,
1
(
sin
sin
sin
1
2
2
1
2
n
x
x
x
n
n
n
tengsizliklar o`rinli bo`ladi. Bu tengsizliklarni
]
2
,
0
[
oraliq bo`yicha integrallab,
,
sin
sin
sin
2
0
1
2
2
0
2
2
0
1
2
xdx
xdx
xdx
n
n
n
so`ngra 4
0
da keltirilgan formulalardan foydalanib topamiz:
.
!
)!
1
2
(
!
)!
2
2
(
2
!
)!
2
(
!
)!
1
2
(
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
n
n
n
n
n
n
Bu tengsizliklardan
n
n
n
n
n
n
2
1
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
2
1
2
1
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
2
2
bo`lishi kelib chiqadi.
Keyingi tengsizliklardan topamiz:
2
!
)!
1
2
(
!
)!
2
(
1
2
1
lim
2
n
n
n
n
.
(6)
(6) formula Vallis formulasi deyiladi.
14
2. Aniq integralni taqribiy hisoblash
Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi.
Bu formula boshlang`ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang`ich funksiyani
topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya
murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi.
1
0
. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi. Faraz qilaylik,
)
(x
f
funksiya
]
,
[
b
a
segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak,
])
,
([
)
(
b
a
R
x
f
.
Masala
b
a
dx
x
f
)
(
integralni taqribiy hisoblashdan iborat.
]
,
[
b
a
oraliqni
b
x
x
x
x
x
a
n
n
,
,...,
,
,
1
2
1
0
nuqtalar
n
x
x
x
x
...
2
1
0
yordamida
n
ta
teng
bo`lakka
bo`lib,
har
bir
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
]
,
[
1
n
k
x
x
k
k
bo`yicha integralni quyidagicha
)
(
)
(
)
2
(
)
(
2
1
1
1
1
k
x
x
k
k
k
k
x
f
n
a
b
x
x
x
x
f
dx
x
f
k
k
taqribiy hisoblaymiz, bunda
n
a
b
x
x
n
a
b
k
a
x
x
x
n
a
b
k
a
x
k
k
k
k
k
k
1
1
2
1
,
)
2
1
(
2
,
).
1
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k
Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:
1
0
1
2
1
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
b
a
k
k
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
2
1
2
2
1
1
2
1
1
x
f
n
a
b
x
f
n
a
b
x
f
n
a
b
dx
x
f
n
n
x
x
)].
(
...
)
(
...
)
(
)
(
[
)
(
...
)
(
...
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
n
k
n
k
x
f
x
f
x
f
x
f
n
a
b
x
f
n
a
b
x
f
n
a
b
Natijada
15
b
a
dx
x
f
)
(
integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi
)
(
)
(
1
1
2
1
n
k
k
b
a
x
f
n
a
b
dx
x
f
(1)
formulaga kelamiz.
(1) formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi.
Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.
(1) formulaning xatoligini
1
0
2
1
)
(
)
(
n
k
k
b
a
n
x
f
n
a
b
dx
x
f
R
(2)
deylik.
Aytaylik,
)
(x
f
funksiya
]
,
[
b
a
segmentda uzluksiz
)
(x
f
hosilaga ega
bo`lsin.
Avvalo
n
R
ni quyidagicha yozib olamiz:
.
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
2
1
1
0
2
1
1
0
1
0
1
0
2
1
1
1
1
dx
x
f
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
n
a
b
dx
x
f
R
n
k
k
n
k
x
x
k
n
k
x
x
n
k
n
k
x
x
k
n
k
k
k
k
k
k
Teylor formulasidan foydalanib topamiz:
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
k
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
(bunda
k
son
x
va
2
1
k
x
sonlar orasida). Natijada
1
1
1
)
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
(
2
2
1
1
0
2
1
2
1
1
0
2
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
x
x
k
k
n
k
x
x
k
k
n
k
x
x
k
k
k
k
n
dx
x
x
f
dx
x
x
x
f
dx
x
x
f
x
x
x
f
R
bo`ladi.
16
Ravshanki,
1
0
2
1
k
k
x
x
k
dx
x
x
.
Demak,
1
0
2
1
1
.
2
1
n
k
x
x
k
k
n
k
k
dx
x
x
f
R
O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan
)
]
,
[
(
)
(
12
)
(
)
(
12
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
*
*
3
3
*
2
1
2
2
1
*
2
2
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
x
x
k
x
x
k
k
k
x
x
f
n
a
b
f
x
x
dx
x
x
f
dx
x
x
f
k
k
k
k
bo`ladi.
Shunday qilib,
n
R
uchun ushbu
1
0
*
2
3
1
0
3
3
)
(
1
24
)
(
)
(
12
)
(
2
1
n
k
k
k
n
k
n
f
n
n
a
b
f
n
a
b
R
ifodaga kelamiz.
Ravshanki,
n
f
f
f
n
n
n
k
k
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
*
1
*
1
*
0
1
0
*
miqdor
)
(
)
1
,...,
2
,
1
,
0
],
,
[
(
*
x
f
n
k
b
a
k
ning
]
,
[
b
a
oraliqdagi eng kichik
m
hamda eng katta
M
qiymatlar orasida,
1
0
*
)
(
1
n
k
k
M
f
n
m
bo`ladi.
Shartga ko`ra
)
(x
f
funksiya
]
,
[
b
a
da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning
xossasiga muvofiq
)
,
(
b
a
da shunday
nuqta topiladiki,
1
0
*
)
(
1
)
(
n
k
k
f
n
f
bo`ladi.
Natijada
n
R
uchun quyidagi
17
)
(
24
)
(
2
3
f
n
a
b
R
n
tenglikka kelamiz.
Demak,
)
(
24
)
(
)
(
)
(
2
3
1
0
2
1
f
n
a
b
x
f
n
a
b
dx
x
f
n
k
k
b
a
bo`ladi.
Shunday qilib,
]
,
[
b
a
oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan
)
(x
f
funksiyaning
b
a
dx
x
f
)
(
integralini (1) tug`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu
taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi
))
,
(
(
)
(
24
)
(
2
3
b
a
f
n
a
b
R
n
formula bilan ifodalanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |