N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

1-lemma. (5) tenglamaning umumiy yechimi

_{ } (6)

ko’rinishga ega, bu yerda

<sub> 

 </sub>ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.

Eslatma 1)._{ } matritsani diognal ko’rinishga keltiruvchi, ya’ni _{ } tenglikni qanoatlantiruvchi

_{ }, _{ }, _{ }, _{ }

matritsalar mavjud bo’lib, bu matritsalarga teskari matritsalar mos ravishda

_{ }, _{ }, _{ }, _{ }

ko’rinishga ega.

Eslatma 2). (5) tenglamaning umumiy yechimi komponentalari bo’yicha quyidagi ko’rinishga ega:

_{ }

bu yerda

_{ }

Isboti. Dastlab (5) sistemadagi _{ } matritsani kanonik ko’ronoshga keltiramiz. _{ } matritsaning xarakteristik tenglamasi _{ } tenglama _{ } ildizlarga ega bo’lgani uchun uning kanonik shakli _{ } ko’rinishda bo’lib bunga _{ } tenglik orqali erishiladi.

Agar _{ }almashtirish matritsasi bo’lsa, u holda bu tenglikni

_{ }

ko’rinishda ifodalashimiz mumkin. Oxirgi tenglikdan _{ } bo’lgani uchun almashtirish atritsasi_{ } dan iborat. Bu matritsaga teskari matritsani topamiz.

_{ }

bo’lgani uchun bu tenglikdan _{ } ekanligini aniqlaymiz. Endi (5) tenglamada _{ } almashtirish kiritamiz. U holda

_{ }

tenglik hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan tenglikni chapdan _{ } matritsaga ko’paytirilsa

_{ },

yoki

_{ },

yoki nihoyat

_{ } (7)

tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

_{ },

chunki _{ } simmetriklikdan _{ } ham diognal matritsa bo’ladi.

Endi (7) sistemani komponentalari bo’yicha yozsak bu sistema ikkita

_{ }

tenglamalarga ajraladi. Bu tenglamalarning umumiy yechimlari mos ravishda

_{ }

Bu yerda _{ } lemma shartida aniqlangan funksiyalar, _{ }ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.

Nihoyat (7) tenglamaning yechimini matritsa ko’rinishida yozib (6) formulani hosil qilamiz. Lemma isbotlandi.