N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

3.1-§.Masalaning qo’yilishi va yechilish usuli.

Biz quyidagi:

_{ }, (1)

_{ } (2)

aralash masalani qaraymiz. Bu yerda quyidagi shartlar :

1) _{ } haqiqiy son va _{ } ;

2) _{ }haqiqiy funksiya;

3) _{ }va _{ }

bajariladi deb hisoblaymiz.

1. 
   tenglama _{ } involyutsiyani o’zida saqlovchi eng soda
   

xususoy hosilali differensial tenglamadir. Involyutsoyaga ega bo’lgan tenglamalar ustida ko’plab tadqiqotlar olib borilmoqda ( masalan [1] va unda keltirilgan adabiyot-larga qarang) .

(1)-(2) masalaning yechimini topish uchun Fur’ye usulidan

foydalanamiz. Biz keltirgan shartlar masalaning klassik yechimini, ya’ni har ikkala argument bo’yicha uzluksiz differensialanuvchi yechimni toppish imkoniyatini beradi. _{ } funksiyaga nisbatan qo’yilgan shartlar tabbiy bo’lib , bu funksiya (1)-(2) chegaraviy masaladan kelib chiquvchi xos funksiani qanoatlantiradi. _{ } funksiyaga qo’yolgan shart esa masalani tadqiq qilishdagi ko’plab muammolarni osonlashtiradi va yechim ko’rinishining yaxshi shaklini beradi.

Ishda [2] ning usullaridan foydalaniladi va bu usul funksional qatorni hadlab differensiallashdan chetlanishga imkoniyat yaratadi.

Fur’ye usuliga ko’ra _{ } belgilash kiritamiz. Natijada (1) tenglama

_{ }

yoki

_{ }

ko’rinishda yozilishi mumkin. Oxirgi tenglikning chap qismi faqat _{ } ga , o’ng qismi esa faqat _{ } ga bog’liq funksiyalar bo’lgani uchun , bu tenglik o’zgarmas sondan iborat, ya’ni

_{ }

Bundan _{ } funksiya uchun

_{ } (3)

_{ } (4)

xos qiymatlar masalasini, _{ } funksiya uchun esa _{ } ifodani hosil qilamiz.

2. (3)- (4) masalaning yechimini topamiz. (3) tenglamada _{ } ni _{ } ga almashtirib, _{ } belgilashlar kiritsak,

<sub> 

 </sub>

tenglamalarni hosil qilamiz. Agar _{ } belgilash kiritsak, bu tenglamalarni vector matritsa usuli bilan

_{ },

yoki _{ } ga nisbatan

_{ } (5)

Drak sistemasi ko’rinishida yozishimiz mumkin, bu yerda

_{ } va _{ }.

Teskarisi ham o’rinli: agar _{ } funksiya (5) sistemaning yechimi bo’lib, _{ } tenglik bajarilsa, u holda _{ } funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.