N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

3.3-§.Masalaning klassik yechimi. Fur’ye usuliga ko’ra (1),(2) masalaning _{ } yechimi formal ko’rinishda

_{ }, (22)

qator ko’rinishida ifodalanadi, bu yerda _{ }.

9-lemma. Barcha _{ } va _{ } lar uchun (22) qator absolyut va tekis yaqinlashadi va uning uchun quyidagi

_{ } (23)

formula o’rinli, bu yerda _{ }.

Isboti. (22) qatorning yaqinlashishi 6-lemmadan kelib chiqadi. Keyin

_{ }

Bundan (23) kelib chiqadi.

Teorema. Agar _{ } bo’lsa, u holda (1),(2) masalaning klassik yechimi mavjud va u

_{ }, (24)

ko’rinishga ega, bu yerda _{ } davri 1 ga teng bo’lgan davriy funksiya bo’lib [0,1] kesmada

_{ } (25)

Isboti. Yuqorida agar (25) tenglik bilan berilgan _{ } funksiyani butun son o’qida 1 ga teng davr bo’yicha davom ettirsak, u holda son o’qining barcha nuqtasida uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo’lishi ko’rsatilgan edi. Endi (24) formula bilan berilgan _{ } funksiya (1),(2) aralash masalaning yechimi bo’lishini ko’rsatamiz.

Dastlab _{ } funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatamiz.

<sub> 

 </sub>

Hisoblanganlarni (1) formulaga qo’yib

_{ } tenglikni hosil qilamiz. Oxirgi ikkita kvadrat qavslardagi ifodalar nolga teng. _{ } va _{ } ifodalarinig oshkor ko’rinishlarini qo’ysak birinchi va ikkinchi kvadratdagi ifodalarining ham nolga tengligini ko’ramiz. Demak _{ } funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi.

Shu bilan birga _{ } bo’lganda

_{ }

ya’ni boshlang’ich shart bajariladi.

Nihoyat,

_{ },

ya’ni chegaraviy shart ham bajariladi. Teorema isbotlandi.