N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

regressiya chizig‘i 
deyiladi. 
Korrelyatsion nazariyasining asosiy masalalaridan biri 
korrelyatsion 
bog‘lanish shaklini 
aniqlash, ya’ni uning regressiya funksiyasi kо‘rinishini 
(chiziqli, kvadratik, kо‘rsatkichli va hokozo) topishdan iborat. Regressiya 
funksiyalari kо‘p hollarda chiziqli bо‘ladi. Ikkinchi masala 
korrelyatsion 
bog‘lanishning zichligi
(kuchi)ni aniqlash. 
 Y
ning 
X 
ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligi zichligi 
Y
ning qiymatlarini 
у
x
shartli о‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bо‘yicha baholanadi: 
kо‘p tarqoqlik 
Y
ning
X
ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yо‘qligidan 
darak beradi; kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini kо‘rsatadi.
 X
ning 
Y 
ga nisbatan korrelyatsion bog‘liqligining zichligi ham shu kabi baholanadi.
 
15.3 Chiziqli regressiya 
Y 
va 
X 
son belgilar chiziqli korrelyatsion boglangan bо‘lsin. Eng sodda 
holni qaraymiz. 
X
belgining turli 
x
qiymatlari va 
Y 
belgining ularga mos
у
qiymatlari bir martadan kuzatilgan bо‘lsin:
 
x
i 
x
1 
x
2 
… 
x
n 
y
i 
y
1 
y
2 
… 
y
n 
 
Bu qiymatlar bir martadan kuzatilganligi uchun shartli о‘rtacha qiymatdan 
foydalanishga ehtiyoj yо‘q. Regressiya tenglamasini

b
x
У
ух




(15.3) 

---

121 
kо‘rinishda izlaymiz, bu yerda, 
ух

- 
Y
ning 
X
ga 
nisbatan 
regressiya 
koeffitsiyenti deyiladi.
ух

 
va 
b
 
parametrlarni shunday tanlash keraki kuzatish ma’lumotlari 
bо‘yicha 
XOY 
tekisligida yasalgan
)
(
i
i
у
x
, (
2
2
,
у
x
), .... (
n
n
у
x
,
) 
nuqtalar (15.3) tо‘g‘ri chiziq yaqinida yotsin.Shu maqsadda eng kichik 
kvadratlar usulidan foydalanib, quyidagi funksiyaning minimumini topamiz: 
2
1
1
2
)
(
)
(
)
,
(









n
i
n
i
i
i
i
i
у
b
x
y
У
b
F


 
bu yerda
 
i
У
- (15.3) tenglama bо‘yicha 
i
x
qiymatga mos ordinata; 
i
у
esa 
i
x
ga 
mos kuzatilayotgan ordinata; 
ух



.
Xususiy hosilalarni nolga tenglashtiramiz: 























0
)
(
2
0
)
(
2
1
1
n
i
i
i
i
n
i
i
i
y
b
x
F
х
y
b
x
F




 
yoki





















n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
nb
x
х
y
х
b
x
1
1
1
1
1
2


(15.4)
 
Bu sistemani yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz. 














n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
i
i
ух
х
x
n
y
х
y
x
n
1
2
1
2
1
1
1
)
(


(15.5)
 



 









n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
х
x
n
y
x
x
y
x
n
b
1
2
1
2
1
1
1
2
)
(
Eslatma
.
X
ning
 
Y
ga 
nisbatan
regressiya 
tо‘g‘ri 
chizig‘ining 
c
у
Х
ху



tenglamasini shunga о‘xshash topish mumkin, bu yerda 
ху

X
ning 
Y 
ga regressiya koeffitsiyenti.
1-misol
. Semestr yakunida yakuniy nazoratdan avval guruh talabalaridan 12 tasi 
orasida sо‘rov о‘tkazildi. Sо‘rovdan maqsad talabalar semestrni qanday ballarda 
о‘zlashtirishlarini aniqlash (5 balli bahoda). Kutilgan ballar va yakuniy 
baholashdan keyingi natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan. 

---

122 
Kutilgan ballar 
i
x
3,2 3,0 3,10 2,8 
3,4 3,8 
4,0 3,7 2,9 4,5 4,6 4,2 
Olingan ballar 
i
у
4,0 3,8 3,5 
3,0 
4,4 4,2 
4,6 4,5 3,1 4,1 4,8 4,0 
Berilgan ma’lumotlar bо‘yicha chiziqli regressiya tenglamasini tuzing. 
Yechish. 
Y
ning 
X 
ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda 
quyidagi jadvalni tuzamiz. 
№ 
i
x
i
у
i
x
i
у
2
i
x
2
i
y
x
y
y
x
1 
3,2 
4,0 
12,80 
10,24 
16,00 
4,06 
3,67 
2 
3,0 
3,8 
11,40 
9,00 
14,44 
4,08 
3,56 
3 
3,10 
3,5 
10,85 
9,61 
12,25 
4,07 
3,40 
4 
2,8 
3,0 
8,40 
7,84 
9,00 
4,10 
3,14 
5 
3,4 
4,4 
14,96 
11,56 
19,36 
4,03 
3,88 
6 
3,8 
4,2 
15,96 
14,44 
17,64 
3,98 
3,78 
7 
4,0 
4,6 
18,40 
16,00 
21,26 
3,96 
3,99 
8 
3,5 
4,5 
15,75 
12,25 
20,25 
4,02 
3,94 
9 
3,9 
3,1 
12,09 
15,21 
9,61 
3,97 
3,19 
10 
4,5 
4,1 
18,45 
20,25 
16,81 
3,9 
2,72 
11 
4,6 
4,8 
22,08 
21,26 
23,04 
3,89 
4,09 
12 
4,2 
4,0 
16,80 
17,64 
16,00 
3,93 
3,67 

44 
48 
177,94 
145,05 
195,66 
48 
44 
 
12
,
0
4
,
195
28
,
23
1936
6
,
1740
2112
28
,
2135
)
44
(
05
,
145
12
48
44
94
,
177
12
2













ух

 
44
,
4
4
,
195
96
,
866
4
,
195
36
,
7829
4
,
6962
4
,
195
94
,
177
44
48
05
,
145













b
 
Shunday qilib,
 
x
y
=-0,12
x
+4,44. 
2. Endi
 X 
ning 
Y
ga regressiya 
c
у
Х
ху



tenglamasini tuzamiz.
53
,
0
92
,
43
28
,
23
2304
92
,
2347
2112
28
,
2135
)
48
(
66
,
195
12
48
44
94
,
177
12
2











ух

55
,
1
92
,
43
92
,
67
92
,
43
12
,
8541
04
,
8609
48
66
,
195
12
94
,
177
48
44
66
,
195
2










С
 
Shunday qilib,
 
y
x
=0,53
y
+1,55. 

---

123 
15.4. Regressiya tо‘g‘ri chizig‘i tanlanma tenglamasi parametrlarini 
guruhlangan ma’lumotlar bо‘yicha topish 
Kuzatishlar soni katta bо‘lganda bir 
x
qiymat 
n
x
marta, bir 
y 
qiymat
n
y 
marta, (
x, y
) juftlik 
n
xy
 
marta kuzatilishi mumkin. Bunday hollarda kuzatish 
ma’lumotlari umumlashtirilib guruhlarga ajratiladi, ya’ni
n
xy
chastotalar 
hisoblanib jadval kо‘rinishida yoziladi. Bu jadval 
korrelyatsion jadval 
deyiladi. 
X 
va 
Y 
son belgilar chiziqli korrelyatsion bog‘langan bо‘lib, 
n
ta 
bog’liqsiz kuzatishlar asosida 
)
(
i
i
у
x
)
,
1
;
,
1
(
m
j
k
i


juft natijalar olingan bо‘lsin. Bunda 
)
(
i
i
у
x
juftlik
ij
n
marta kuzatilgan va 
.
1
1




k
i
m
j
ij
n
n
Natijalar quyidagi korrelyatsion jadval kо‘rinishida yoziladi. 
X
Y
\
 
i
x
i
x
... 
i
x
y
n
1
у
11
n
21
n
... 
1
i
n
1
x
n
2
у
12
n
22
n
... 
2
i
n
2
x
n
: 
... 
... 
... 
... 
... 
m
у
m
n
1
m
n
2
... 
im
n
xm
n
x
n
y
n
1
y
n
2
... 
iy
n
n
Bunda,
,
1
n
x
n
x
k
i
i
iy



,
1
n
y
n
y
m
j
i
xj



.
1
2
2
n
x
n
x
k
i
i
iy






m
j
ij
iy
n
n
1
;
;
1



k
i
ij
xj
n
n
Bu holda, 
Y 
ning 
X
ga nisbatan regressiya tо‘g‘ri chizig‘i parametrlari uchun 
(15.4) sistema quyidagi kо‘rinishni oladi. 










y
b
p
х
xy
b
х
p
х
ух
ух
2
(15.6) 
Bu yerda, 
n
y
x
n
xу
k
i
m
j
i
i
ij
 



1
1
. 
(15.6) sistemadan 
b
ni yо‘qotib
)
(
x
x
y
y
ух




(15.7)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda,regressiya koeffitsiyenti

---

124 
]
)
(
[
2
2
1
1
x
x
n
y
x
n
y
x
n
k
i
m
j
i
i
ij
yx








(15.8) 
Kо‘rinib turibdiki, 
Y
ning 
X
ga nisbatan regressiya tо‘g‘ri chizig‘i
)
,
(
y
x
nuqtadan о‘tadi. 
Agar 
2
2
2
)
(
(
х
x
x



ekanligini hisobga olsak, u holda,
2
x
y
xy
yx
n
y
x
n
x
n





ni yozish mumkin, bu yerda, 
 




k
i
m
j
i
i
ij
y
xy
y
x
n
x
n
1
1
.
Tenglikning ikkala tomonini
y
x


kasrga kо‘paytiramiz:
y
x
y
xy
y
x
yx
n
y
x
n
x
n









Bu tenglikni о‘ng tomonini 
r
bilan belgilaymiz va uni korrelyatsiya 
koeffitsiyenti deb ataymiz.
r
y
x
yx




bundan,
x
y
yx
r




U holda, (15.7) tenglama 
)
(
x
х
r
у
у
y
x
х





(15.9) 
kо‘rinishni 
oladi. 
Korrelyatsiya 
koeffitsiyenti 
chiziqli 
korrelyatsion 
bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni baholash uchun xizmat qiladi.Korrelyatsiya 
koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan oshmaydi, ya’ni
1

r
yoki
1
1



r
Agar korelyatsiya koeffitsiyentining moduli 
r
birga qancha yaqin bо‘lsa, 
bog‘lanish shuncha kuchli bо‘ladi.