Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

2.2 M uxtor Sistema traektoriyasining muhim xossasi.
Avtonom sistemasining alohida olingan bitta x (t) traektoriyasi o’z – o’zini kesa oladimi, ya’ni 1 – chizmada ko’rsatilgan hol yuz beradimi yoki yo’qmi, degan savolni qo’yaylik. Bu savolga javob avtonom sistemaning

1-chizma
uchinchi muhim xossasini ochib beradi.
Teorema. x = (t) funksiya (1) tenglamaning r1 < t < r₂ intervalda
aniqlangan biror yechimi bo’lsin. Agar (t1) = (t2), t1 t₂va r₁ < t₁ < r₂, r₁ < t₂ < r₁ bo’lsa, u holda shu x = (t) yechimni - < t < + intervalda davom ettirish mumin.
Isbot. Yuqoridagi teoremaga ko’ra (t1) = (t2) bo’lgani uchun x = (t + C), C = t1 -t₂ funksiya
Ham yechim bo’ladi va ushbu x = (t+C ) , r1 < t < r₂ ayniyat o’rinli. Bu ayniyatdan (t) funksiya r1 < t < r₂ intervalda aniqlangani uchun (t + C) funksiya r₁ - |C|₁ < t < r₂ + |C| intervalda aniqlangan bo’ladi. Haqiqatan, r1 < t + C < r₂ tengsizlikdan C > 0 bo’lganda r1 - C < t < r₂va demak, yechimni r₁ dan chapga C miqdorga davom ettirish mumkin; shunga o’xshash, C < 0 bo’lganda r₁ < t < r₂ – C ya’ni yechimni r₂ dan o’nga - C = |c| miqdorga davom ettirish mumkin bo’ladi. Har ikki holni birlashtirib yechimni r₁ -|C|₁ < t < r₂ + |C| intervalga davon ettirish mumkinligini qayd qilamiz. Shu intervalda aniqlangan ⁽¹⁾(t) yechim uchun baribir ⁽¹⁾(t) = ⁽¹⁾ (t + C) ayniyat o’rinli. ⁽¹⁾ (t + C) = ⁽¹⁾ (t) desak, *⁽¹⁾ (t1) = ⁽¹⁾ (t1 + C) = (t 1) = ( t₂), ya’ni ⁽¹⁾ (t₁) = (t₂), bundan avvalgidek *⁽¹⁾( t + C) = *⁽¹⁾( t ) ekani kelib chiqadi. *⁽¹⁾(t) funksiya r₁ -|C |< t < r₂ + |C| intervalda aniqlangan bo’lgani uchun oxirgi ayniyatdan foydalanib mavjudlik intervalini yanada kengaytirish mumkin. Boshqacha aytganda, r₁ - 2|C| < t < r₂ + 2|C| intervalda aniqlangan yechimni ko’rish mumkin. Tegishli yechimni ⁽²⁾ (t) deb belgilaymiz. Shunga o’xshash, mavjudlik intervali r₁ - k|C| < t < r₂ + k|C| dan iborat bo’lgan ^(k) (t) yechimni ko’rish mumkin. Yuqoridagi tengsizlikda k da limintga o’tsak, - < t <+ interval hosil bo’ladi (r₁va r₂ lar qanday bo’lishidan qat’i nazar). Shu intervalda aniqlangan yechimni ⁰ (t) deymiz. Shunday qilib, teorema isbot bo’ladi. Ammo isbot davomida avtonom sistemaning har qanday traektoriyasi chekli vaqtda cheksizga ketib qolmasligidan foydalanildi. Aslida ko’rilayotgan holda shunday. Shu munosabat bilan quyidagi yetarli shartni beradigan lemma keltiramiz.
Lemma. Agar D_n sohada f₁(x₁,...,x_n),..., f_n(x₁,...,x_n) funksiyalar barcha argumentlari bo’yicha cheklangan xususiy hosilalarga ega bo’lsa, u holda (3) avtonom sistemaning hech qanday traektoriyasi chekli vaqtda cheksizga ketib qolmaydi, ya’ni ushbu

munosabat o’rinli bo’la olmaydi.
Isbot. Lemmaning shartiga ko’ra | | m,i, j = 1,2,...,n,0 < M -chekli son.
Endi f_i(x)funksiya uchun x = 0 nuqta atrofida Lagranj formulasini yozamiz:



bunda 0 < < 1, , x = y D_n |f(0)| = C deymiz | | modulni baholaylik:

Bundan fodalanib, f (x) vektor – funksiyaning modulini baholash mumkin.

Haqiqatan, ravshanki



bunda N =max(C,M). Bu tengsizlikdan foydalanib topamiz:

Faraz etaylik, r₁ < x < r₂ + | intervalda aniqlangan va t = r₂ + | da cheksizlikka intiluvchi x = (t) yechim mavjud, ya’ni t da = (t)| ( = r₁ + | bo’lgada ham isbot shunga o’xshash bo’ladi). U holda shunday _* < topiladiki, _* t < intervalda | (t) | > 1 bo’ladi. Shuning uchun _* < t < intervalda quyidagiga egamiz:

Bundan

Bu tengsizlikning ikki tomonini _* dan gacha integrallab topamiz:

Ammo

tengsizli o’rinli bo’lib, uning o’ng tomonidagi ifoda musbat chekli sondir. Bu esa farazimizga zid. Demak, chekli vaqtda x = (t) traektoriyacheksizlikga keta olmaydi. Lemma isbot etildi.
Keyengi mulohazalarda shu lemmaning shartlari yoki boshqa yetarli shart bajarilgan deb qarab, x = (t) yechim - < t <+ intervalda aniqlangan deb hisoblanadi. Xususan, yuqoridagi teoremada
(t₁)= (t₂), t₁ t₂
bo’lgani uchun

ayniyat bajariladi va (t) funksiya ( -chekli son) da cheksizga intilmaydi. Aslida (t) yechim chekli vaqtda cheksizga intilmasligi uchun (t₁)= (t₂), t₁ t₂
munosabatning bajarilishi ham yetarli shartlardan biridir.
Navbatdagi teoremada ham avtonom sistemaning yechimi (t₁)= (t₂), t₁ t₂
bo’lganda intervalda aniqlangan deb hisoblanadi.