Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Teorema. sistemaning biror intervalini (a, b) deylik, ya’ni (a,b) , yana x₀ (a,b) bo’lsin. Agar x = (t) , r₁ < t < r₂, berilgan tenglamaning ( , x ₀ ) , ri < < r₂, boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan davomsiz yechim bo’lsa, u holda f ( x₀) > 0 bo’lganda ushbu
a< (t) r₁ < t < r₂ (7)
, (8)
Munosabatlar o’rinli shu bilan birga, agar a(yoki b ) chekli bo’lsa, u holda r₁(yoki r₂ ) cheksiz bo’ladi. Shunday qilib, har bir (a, b) interval bitta holat traektoriyasidan iborat.

2-chizma
Isbot. f(x₀) >0, x₀ (a,b) bo’lgani uchun (teoremani f(x₀) < 0bo’lganda ham tegishlicha bayon etib, isbotlash mumkin, (a, b) intervalda f(x) >0 va x^’ > 0 bo’ladi. Bunda (a, b) da holat nuqtasi chap o’ngga harakat qilib, holat traektoriyasini chizishi kelib chiqadi (2 - chizma). Demak, t o’sishi bilan (t)nuqta (a,b) intervaldan faqat o’ng oxiri orqali chiqib orqali chiqib ketishi mumkin (agar bu mumkin bo’lsa). Deylik, t = t1 bo’lganda (t1) = b bo’lsin. Eslatib o’tamizki, (b) = 0 va b - muvozanat nuqtasi, bu b nuqta ham yuqoridagi teoremaga ko’ra mustaqil traektoriyadan iborat. Ammo yuqoridagi farazga ko’ra x = b va x = (t) traektoriyalari t = t1 da kesishadi. f (x)funksiya uzliksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun (6) tenglama ixtiyoriy tayinlangan boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega. Shuning uchun biz ziddiyatga keldik. Demak, t o’sishi bilan (t) nuqta (a, b) intervaldan chiqib keta olmaydi. ( t ) nuqta kamayishi bilan ( a, b ) intervaldan chap oxiri orqali chiqib keta olmasligi ham xuddi shunday ko’rsatiladiki. Demak, usha a < (t) < b tengsizliko’rinli.
Shunday qilib, (7) munosabatlar isbotlandi.
Endi (8) munosabatni isbotlaymiz.
Buning uchun isbotlash yetarli.
Qolgan munosabat shunga o’xshash isbotlanadi.
ya’ni
Deb faraz etamiz. (a,b) intervalda f(x)>0 bo’lgani uchun f(c^*) >0 bo’ladi. (6)
tenglamaning (0, c ^*) boshlang ’ich qiymatlarga ega bo’lgan yechimini ( x) deylik. Demak,
(0) = c*, (t) = f'( (t)).Bundanf (c^*) >0 bo’lgani uchun biror t = t_* <0 , t_* (r1,r₂) bo’lganda ( t _*) = c kelib chiqadi. Ikkinchitomondan, t r da (t) c_* bo ’lgani uchun (t_*) < c^*, t_* < r₂
bo ’ladi. Bu tengsizliklarga asosan (t_*) = (t_*) = x_* , a < _x* < c^* < b deb tanlash mumkin.
Boshqacha aytganda, (6) tenglamaning ikkita ( t) va (x) yechimlari bir xil boshlang’ich shartni qanoatlantirayapti. Buyechimning yagonaligiga zid. Shunday qilib,(8) munosabatlar isbotlandi desa bo’ladi. Teoremaning oxirgi tasdig’ini isbotlash qoldi. Buning uchun b chekli bo’lsin deylik, ya’ni b < ; r =+ ekanini isbotlaymiz. Faraz etaylik, r <+ .
Ushbu funksiyani kiritamiz:

Bu funksiya (6) tenglamaning yechimi, ammo buning bo’lishi mumkin emas. Aks holda ikki yechim x = (y) va x = b lar t = r₂ bo’lganda bir xil qiymatlarga ega bo’ladi. Shunday qilib, r₂ =+ . Xuddi shunga o’xshash a > - bo’lganda r1 = - ekani isbotlanadi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.
Keltirilgan teorema (6) tenglama yechimlarining muhim xossasini beradi. Navbatdagi xossani bayon etishdan avval ba’zi tushunchalarni kiritamiz.
Berilgan (6) tenglamaning biror muvozanat nuqtasini b , undan chap va o’ng tomondagi eng yaqin muvozanat nuqtalarni a va c deylik. Agar (a,b) interval sistemaning eng chap, (b,c) esa uning eng o’ng intervali bo’lsa, u holda a = - , c = + bo’ladi. Quyidagi mulohazalar shu hollarda ham o’rinli. Demak, (a,b) , (b,c) .Har bir (a,b) yoki (b,c) intervalda f (x) 0. Shu f (x) funksiyaning musbat yo manfiyligiga qarab (a, b) va (b, c) intervallarda holar nuqtasi t ortishi bilan yo b ga yaqinlashadi, yo undan uzoqlashadi.
Agar har ikki (a,b) va (b, c) intervallarda ha holat nuqtasi t ortishi bilan b ga yaqinlashsa, u holda nuqta (muvozanat nuqtasi) turg’un deyiladi; agar t ortishi bilan har ikki intervalda ham holat nuqtasi b nuqtadan uzoqlashsa, u holda b nuqta noturg’un (turg’unmas) deyiladi; agar t ortishi bilan holat nuqta bir intervalda b ga yaqinlashib, ikkinchi intervalda undan uzoqlashsa, u holda b nuqta yarim turg’un deyiladi.
x = x tenglamaning bitta x = 0 muvozanat nuqtasi bor. Demak, b = 0 va sistema ikkita (- ,0)hamda (0,+ ) intervallardan tashkil topgan. Ravshanki, (- ,0) intervalda holat nuqtasi b dan uzoqlashadi, ya’ni x < 0 bo’lgani uchun harakat o’ngdan chapga bo’ladi. (0,+ ) intervalda esa harakat chapdan o’ngga bo’ladi, ya’ni holat nuqtasi vaqt o’tishi bilan b nuqtadan yana uzoqlashadi. Shunday qilib, x = x tenglama uchun b = 0 nuqta noturg’un muvozanat nuqtadir. Shunga o’xshash, agar x = - x tenglama ko’rilsa, x = 0 nuqta turg’un muvozanat nuqta ekanini ko’rsatish mumkin.
Mulohazalarni integral ehiziqlar yordamida ham olib borish mumkn edi. Xususan x^’ = x tenglama uchun x = 0 muvozanat nuqtasiga (t, x) tekislikdagi trivial yechim, ya’ni t o’qi mos keladi. Bu gorizontal o’qning yuqori va pastki qismidagi integral ehiziqlar t ortishi bilan borgan sari shu o’qdan uzoqlashib ketadi (3- chizma). x^’ = -xtenglama esa buning aksi bo’ladi.
Shunday qilib, (6) tenglama uchun b muvozanat nuqtaning atrofida, aniqrog’i (a, b) va (b, c) intervallarda holat nuqtasining harakati to’g’risida quyidagi teorema o’rinli.

3-chizma