Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Teoremaning isboti. Ushbu
(4) ayniyat o’rinli bo’ladigan har bir C 0 son x = yechimning davri deyiladi. Shu x = yechimning barcha davrlaridan tuzilgan to’plam F bo’lsin. Hozir bu son to’plamning ba’zi xossalarini tekshiramiz.

1. 
   Agar C bo’lsa, - bo’ladi. Haqiqat (4) da t – c ga almashtiramiz: = . Bundan - C kelib chiqadi.
   

2) Agar = ,i = 1,2,...,k,Ci F bo’lsa, u holda
= ya ’ ni bo’ladi. Haqiqatan,



3) F to’plam yopiq. Haqiqatdan, ushbu C₁, C₂,..., C_k,... ketma - ketlik F to’plam elementlaridan tuzilgan bo’lib, biror C₀ ga yaqinlashuvchi bo’lsin.
C0 F ekanini ko’rsatamiz. Ravshanki, .
Shuninguchun funksiyaning uzluksizligiga ko’ra argumentda limitga o’tish mumkin , ya’ni quyidagi amallar o’rinli:

Demak, C₀ F va F - yopiq.
4)F to’plam noldan farqli sonlarni o’z ichiga oladi, chunki (4) da
C , t₁ t_2.
Endi teoremaning isbotiga o’taylik. F to’plam uchun quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   F to’pam barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iboratdir;
   
2. 
   F to’plamda shunday kichik musbat T son mavjudki, u to’plam shu T songa butunkarrali sonlardan iborat.
   

Boshqa hollar bo’la olmaydi. Buni isbot etamiz.
F to’plamda musbat sonlar bor, chunki, 0 F bo’lib, C, -C lar uningelementi. F to’plamda eng kichik musbat son bo’lmasin, ya’ni ixtiyoriy musbat > о uchun C davr topiladiki, C < bo’ladi. (2) xossaga ko’ra m – butun bo’lsa, mC ham davr bo’ladi. C < bo’lgani uchun ixtiyoriy haqiqiy C₀ uchun shunday butun m topiladiki, |C₀ - mC| < tengsizlik bajariladi.
Bundan ixtiyoriy C₀ son F to’plamning limit nuqtasi ekani kelib chiqadi. Shu bilan birga F to’plam yopiq bo’lgani uchun u barcha haqiqiy sonlar to’plami bilan ustma – ust tushadi.
Endi F to’plam barcha haqiqiy sonlar to’plami bilan ustma – ust tushmasin,
deylik.
Yuqorida isbotlanganiga ko’ra bu holda F to’plamda eng kichik musbat T mavjud. C –ixtiyoriy davr bo’lsin. U holda shunday butun son m ni tanlash mumkinki,
ushbu |C - mT| < T tengsizlik bajariladi. Bunda C - mT 0 deylik.
Ammo C va mT lar davr bo’lgani uchun C – mT ham davr bo’ladi. Demak,
|C - mT| ham davr bo’ladi.
Shuning uchun |c -mT| > 0 va |c- mT| < T tengsizliklardan F to’plamning T dan kic hik bo’lgan musbat davr mavjud. Bu bo’lishi mumkin emas,
Chunki T son F to’plamda eng kichik musbat davr edi.
Ziddiyat C = mT bo’lishi kerakligini isbotlaydi. Demak, C = mT. Shunday qilib, ko’rilayotgan holda F to’plam T ga karrali sonlardan iborat. Natija qilib aytganda, unda eng kichik musbat son T > 0 mavjud va F to’plam shu T ga karrali sonlardan
tashkil topgan.
Birinch iholda (t ) yechim uchun ixtiyoriy haqiqiy son davr bo’ladi;
Bu faqat (t) vektor - funksiya o’zgarmas vektordan iborat bo’lgandagina mumkin, ya’ni agar (t) = a, a Dn bo’lsa, u holda C – ixtiyoriy haqiqiy son bo’lsa ham
( t + C) = a tenglik bajarilavermaydi. Biz muvozanat holatiga egamiz.
Ikkinchi holda F to’plamning eng kichik musbat t soni ( t ) yechimning davri (eng kichik musbat davri) bo’ladi. Biz davriy yechimga egamiz. Shunday qilib, teorema to’liq isbot bo’ldi.