Mustaqil ish Mavzu: Yuqori tartibli determinant va ularni hisoblash

oliy matematika fanidan mustaqil ish Mavzu: Yuqori tartibli determinant va ularni hisoblash Bajaruvchi: sirtqi 2 kurs 205 guruh talabasi Z.Azimov

MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSTITETI AMALIY PSIXOLOGIYA YO’NALISHI

Yuqori tartibli determinant va ularni hisoblash.

Reja

1. 
   Matematkaning inson hayotidagi o‘rni.
   
2. 
   Matritsa va determinant tushunchalari.
   
3. 
   Yuqori tartibli determinant va determinantning xossalari.
   
4. 
   Determinantni hisoblash usullari.
   

Matematika o‘zining rivojlanish jarayonida tabiatda uchraydigan narsa va hodisalarning shaklini, ko‘rinishini, o‘lchamlarini va ularning orasidagi miqdoriy munosabatlarni, undan kelib chiqadigan qonun-qoida, xossalarni o‘rganib kelmoqda. Tarixdan ma’lumki, matematika hayotda eng zaruriy va asosiy fan hisoblanadi. Vaholanki, bolaning endi tili chiqar-chiqmas unga: “yoshing nechada”, – deb savol beramiz. Bola esa jajji barmoqchalarini ko‘rsatib, javob beradi. Bolaga birinchi beradigan ta’limimiz ham 10 gacha sanashdan boshlanadi, O‘sha ondan boshlab, inson matematikaga qadam qo‘ygan hisoblanadi. Matematika aqlni o‘stiradi, diqqatni rivojlantiradi, maqsadga yetishish uchun o‘zida iroda va qat’iyatni tarbiyalaydi. Shu sababli matematika har qanday kasb egasiga suv va havo kabi zarurdir. Inson faoliyatining biror sohasi yo‘qki, o‘lchovlarsiz, hisob-kitobsiz kechadi. Shuning uchun ham, hozirgi kunda matematika fani qo‘llanilmaydigan birorta sohaga misol keltirish juda qiyin. Matematika fani tobora ko‘proq fanlarning nazariy va tadbiqiy izlanishlarida universal qurolga aylanib bormoqda. Ayniqsa, ba’zi bir sohalarni matematikasiz tasavvur qilishning o‘zi murakkabdir.

Matematika fani asosiy fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Matematika faniga juda ko‘plab fanlar asoslanadi.

Hozirda matematika deganda tabiat haqidagi barcha bilimlarimizni tizimga soluvchi, tabiat va jamiyatdagi aniq jarayonlarning matematik modellarini o‘rganuvchi fan tushuniladi.

Jumladan, bo‘lajak psixologlar uchun «Oliy matematika» fanini o‘rganishdan asosiy maqsad, ularning ayrim nazariy va amaliy masalalarni yecha olish uchun yetarli darajada matematikani qo‘llay olishini o‘rganishdan iboratdir. Hamda ularni mantiqiy, algoritmik, abstrakt fikrlashga o‘rgatish, o‘zlarining fikr va mulohazalarini aniq, qat’iy bayon etishga o‘rgatish, ba’zi masalalarining matematik modellarini qurish, tahlil qilish malaka va ko‘nikmalarini shakllantirishdan iboratdir.

Matematikada matritsa va determinant tushunchalari juda muhum o‘rin egallaydi. Ayniqsa, ko‘pgina masalalarning matematik modelini tuzayotganda matritsa va determinant tushunchalaridan keng foydalaniladi.

Dastlab, determinant tushunchasini keltirishdan oldin matritsa tushunchasi haqida ozroq to‘xtalib o‘tamiz.

Ta’rif. O‘lchamlari bo‘lgan matritsa deb, satrlar soni ga, ustunlar soni ga teng bo‘lgan, ta sondan tashkil topgan to‘g‘ri to‘rtburchak shakldagi sonli jadvalga aytiladi.

Matritsalar lotin alifbosining katta harflari A,B,C,... bilan, uning elimentlari esa lotin alifbosining kichik xarflari bilan belgilanadi. Odatda matritsaning –satr va -ustunlarining kesishidan hosil bo‘lgan elimentini -ko‘rinishida ifoda etamiz. Matritsalarni

ko‘rinishda, yoki qisqacha shaklda ham ifodalanishi mumkin. Matritsalarni ifoda etishda belgilaridan ham foydalanadilar.

Birgina satrdan yoki birgina ustundan iborat matritsa vektor – satr yoki vektor-ustun deb ham nomlanadi, ya’ni

satr vektor, -ustun vektor

Matritsa o‘lchami bo‘lsa, ya’ni satrlar soni ustunlar soniga teng bo‘lsa, bunday matritsa -tartibli kvadrat matritsa deyiladi.

Kvadrat matritsaning ko‘rinishdagi elementlari uning bosh dioganal elementlari deb ataladi. Agar dioganal matritsa uchun bo‘lganda bo‘lsa, bunday matritsa dioganal matritsa deyiladi. Agar dioganal matritsada barcha lar uchun bo‘lsa, bunday matritsa birlik matritsa deb ataladi va harfi bilan belgilanadi. Ya’ni,

Agar matritsaning barcha elementlari, ya’ni istalgan uchun bo‘lsa, u holda bunday matritsa 0-ko‘rinishda ifodalanadi va nol - matritsa deyiladi.

Matematikada chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda ular bilan bog‘liq bo‘lgan kvadrat matritsalarni izohlash uchun ularga determinant deb nomlanuvchi son mos qo‘yiladi. Bu son yoki shaklida ifodalanadi.

Kvadrat matritsa determinantini uning tartibi n bo‘yicha induksiya orqali ta’riflaymiz.

bo‘lsin, ya’ni 1-tartibli matritsa bo‘lsin, A matritsaning determinanti deb, quyidagi sonni olamiz:

.

tartibli barcha kvadrat matritsalar uchun ularning determinanti aniqlangan bo‘lsin deb faraz qilamiz.

Ta’rif. -tartibli matritsaning elementining -minori deb, A matritsani i-satri va j-ustunini o‘chirishdan keyin hosil bo‘lgan tartibli matritsaning determinantiga aytiladi.

Ta’rif. n-tartibli matritsaning -elementining algebraik to‘ldiruvchisi -deb quyidagi songa aytiladi

.

Quyidagi yig‘indilar:

yig‘indi i-satr bo‘yicha yoyilma,

yig‘indisi esa , j-ustun bo‘yicha yoyilma deb ataladi.

Ta’rif. n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti deb, quyidagicha aniqlangan songa aytiladi:

(1)

Bu ta’rifdan foydalanib 2- va 3-tartibli determinantlarni hisoblash uchun quyidagi formulalarni hosil qila olamiz:

Quyidagi teorema o‘rinli bo‘ladi:

Laplas teoremasi. Istalgan va lar uchun

(2)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Ya’ni n-tartibli A matritsa uchun uning barcha yoyilmalari uning determinantiga o‘zaro teng bo‘lar ekan.

Determinantlarni hisoblashda quyidagi xossalardan foydalanamiz:

1-xossa. Agar matritsani biron-bir satridagi (ustunidagi) barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, u holda uning determinanti ham nolga teng bo‘ladi.

Haqiqatdan ham, agar matritsaning i-satri elementlari bo‘lsa, (2) formuladan ekanligi kelib chiqadi.

Agar matritsaning j-ustun elementlari bo‘lsa, Laplas teoremasidan, ya’ni (2) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.

2-xossa. Agar matritsaning biron bir satr (ustun) elementlari soniga ko‘paytirilsa, determinantning qiymati ham soniga ko‘payadi, ya’ni ga teng bo‘ladi.

Bu xossaning satr holi uchun xossaning isboti (2) tenglikdan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi

.

Xossaning ustun holi uchun isboti, Laplas teoremasidan, ya’ni (2) tenglikdan kelib chiqadi.

3-xossa. matritsa va uning transponirlangani matritsalarning determinantlari teng bo‘ladi, ya’ni tenglik o‘rinlidir.

Bu xossaning isboti Laplas teoremasidan, ya’ni (2)- tenglikdan kelib chiqadi. Chunki transponirlangan matritsa uchun ni (1) tenglikni, ya’ni satr bo‘yicha yoyilmasini qarasak, bu yoyilma A matritsa uchun ustun bo‘yicha yoyilmadan iborat bo‘ladi.

U holda, (2) tenglikdan bu ga tengligi kelib chiqadi. Demak ekan.

4-xossa. Agar matritsaning ikkita satrlari o‘rnini almashtirsak, hosil bo‘lgan yangi, matritsaning determinanti, matritsa determinantining teskari ishora bilan olingan qiymatiga teng bo‘ladi, ya’ni tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Bu xossani avval xususiy hol uchun, ya’ni matritsa matritsada ketma-ket keluvchi ikki satrlari o‘rnini almashtirishdan hosil bo‘lgan hol uchun isbot qilaylik.

matritsa matritsaning va -satrlari o‘rnini almashtirishdan hosil bo‘lgan bo‘lsin, agar matritsani satri bo‘yicha yoyilmani qarasak, ya’ni:

ekani kelib chiqadi.

Demak bu holda 4-xossa isbot bo‘ldi.

Endi matritsa matritsadan va satrlarini o‘rinlarini almashtirishdan hosil bo‘lgan bo‘lsin.

U holda bu almashtirishni ketma-ket keluvchi satrlar o‘rnini almashtirish orqali ifodalash mumkin bo‘ladi.

Aytaylik, ko‘rinishda bo‘lsin. satrlar joylashuvidan satrlar joylashuviga o‘tish kerak, buni quyidagicha bajarish mumkin:

bu o‘tishlar soni m ga teng. So‘ngra

bu o‘tishlar soni ga teng.

Demak, jami bir qadamli o‘tishlar bor ekan, demak matritsa determinanti o‘z ishorasini toq marta o‘zgartirar ekan. U holda bo‘ladi.

5-xossa. Agar matritsaning ikkita satri (ustuni) bir xil bo‘lsa, u holda uning determinanti nolga teng bo‘ladi.

Haqiqatdan ham, agar matritsaning i- va j- satrlari bir xil bo‘lsa, u holda ularni o‘rinlarini almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa uchun va bo‘lishi kerak, ya’ni bundan esa ekanligi kelib chiqadi.

6-xossa. Agar matritsaning ikkita satr (ustun) mos elementlari proporsional bo‘lsa, u holda uning determinanti nolga teng bo‘ladi.

Haqiqatdan ham, matritsaning i-satri mos elementlari j-satrning mos elementlariga proporsional bo‘lsin. Ya’ni

(3)

tengliklar o‘rinli bo‘lsin. Bu yerda -proporsionallik koeffitsenti.

U holda, agar matritsa matritsaning i-satri elementlarini, uning j-satri elementlari bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa deb qarasak, u holda (3) tenglik va 2-xossaga ko‘ra ekanligi kelib chiqadi.

5-xossaga ko‘ra bo‘ladi.

Demak ekan.