Mundarija kirish II. Asosiy qism

2.2. Veyl aksiomalar sistemasi
Geometriyani o'rganishda ilk bor aksiomatik usul Evklid tomonidan qo'llanilgan. Uning “Boshlanishlari” quyidagicha tuzilgan: birinchidan, asosiy tushunchalar berilgan va asosiy taxminlar sanab o‘tilgan – postulatlar va aksiomalar; keyin Evklid qabul qilingan postulatlar va aksiomalar asosida mantiq qoidalariga ko‘ra isbotlashga intilgan takliflar (teoremalar) keladi. Talabalar maktab geometriya kursini o'rganishda ushbu usul haqida birinchi g'oyalarni oladilar. Bu erda ta'riflar, aksiomalar va ilgari olingan teoremalarga asoslangan isbotlar yordamida teoremalarning haqiqiyligi aniqlanadi. Shunday qilib, biz aksiomalar geometriyaning isbotsiz qabul qilingan eng oddiy boshlang'ich takliflari ekanligini tushunamiz. Xuddi shunday holat tushunchalarni aniqlashda ham sodir bo'ladi. Har qanday tushuncha aksiomalar va ilgari kiritilgan tushunchalar orqali aniqlanadi. Bu oxirgilar, o'z navbatida, aksiomalar va ilgari kiritilgan tushunchalar va boshqalar bilan belgilanadi. Natijada, ular endi oddiyroq tushunchalarga tushirib bo'lmaydigan tushunchalarga kelishadi. Ta'riflarsiz qabul qilingan bu boshlang'ich tushunchalar asosiy (aniqlanmagan) deb ataladi.Aksiomalar asosiy ob'ektlar orasidagi asosiy munosabatlarning barcha zaruriy xususiyatlarini sanab o'tadi.Matematik nazariyani aksiomatik qurishda ba'zi gaplar aksioma sifatida qabul qilinadi, ulardan boshqasi. gaplar formal mantiq qoidalariga ko‘ra hosil bo‘ladi. Biroq, bu nazariyaning barcha takliflari to'plamini aksiomalar tizimi sifatida qabul qilish mumkin emas. Aksiomalar tizimiga qo’yiladigan asosiy talablar izchillik yoki izchillik, mustaqillik va kategoriyalik talablaridir.

1. 
   Aksiomalar tizimi, agar bu nazariyada biron bir A taklifini va uning inkorini isbotlash mumkin bo'lmasa, izchil yoki izchil deyiladi .
   
2. 
   Aksiomalarning izchil tizimi mustaqil deyiladi, agar bu sistemaning hech bir aksiomasi qolgan aksiomalardan teorema sifatida chiqarilmasa.
   
3. 
   Izchil aksiomalar tizimi, agar uning ikkita modeli izomorf bo'lsa, kategoriyali deyiladi.
   

Aksiomalarning kategorial tizimi tushunchasi bilan chambarchas bog'liq bo'lib, deduktiv to'liq tizim tushunchasi mavjud. Izchil aksiomalar tizimi, agar u aniqlagan nazariyadagi har qanday taklif isbotlanadigan yoki rad etilishi mumkin bo'lgan bo'lsa, deduktiv to'liq deyiladi.
II . Evkliddan kelib chiqqan va D. Gilbert tomonidan o'zining geometriya aksiomatikasida (1899) belgilab qo'yilgan geometriyani qurishning an'anaviy usuli eng mashhur, ammo yagona mumkin emas. Masalan, 1917 yilda geometriyani qurishning mutlaqo boshqacha usuli taklif qilingan. mashhur nemis matematigi G. Vayl. Veyl aksiomalar tizimi asosiy oltita tushunchani tavsiflaydi, ulardan ikkitasi - nuqtalar va vektorlar - asosiy ob'ektlar deb ataladi. " Vektor qo'shish ", " vektorni songa ko'paytirish ", " vektorlarni skaler ko'paytirish " va " vektorni nuqtadan keyinga qoldirish " tushunchalari asosiy munosabatlar deyiladi. To'g'ri chiziqlar, tekisliklar, raqamlar tengligi va boshqalar. ana shu dastlabki tushunchalar va munosabatlar orqali aniqlanadi. Barcha nuqtalar va vektorlar to'plami mos ravishda T va V bilan belgilanadi . Veyl aksiomalari beshta guruhga bo'linadi.