Mundarija kirish II. Asosiy qism

Fazoviy aksiomalar.
Aksioma . Qanday tekislik bo'lishidan qat'iy nazar, bu tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalar va tegishli bo'lmagan nuqtalar mavjud.
Aksioma  . Ikki xil tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular to'g'ri chiziqda kesishadi.
Aksioma  . Agar ikki xil chiziqning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular orqali tekislik o'tkazilishi mumkin, bundan tashqari, faqat bitta.
Biz bir nechta oqibatlarga e'tibor qaratamiz :
1. Chiziq va unda yotmagan nuqta orqali tekislik chizish mumkin va faqat bitta.
2. Agar chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo'lsa, butun chiziq shu tekislikka tegishlidir.
3. To'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta orqali tekislikni, bundan tashqari, faqat bittasini chizish mumkin.
Pogorelov bo'yicha aksiomatikaning izchilligi.
A'zolik va parallellik aksiomalarini tekshirish.
Asosiy tushunchalar.
nuqtani ma'lum tartibda (x, y) olingan har qanday haqiqiy x va y sonlar juftligini chaqiramiz va bu raqamlar nuqtaning koordinatalari deb ataladi.
Koordinatalari chiziqli tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar to'plamini to'g'ri chiziq deb ataymiz va . Bu tenglama to'g'ri chiziq tenglamasi deb ataladi . To'g'ri chiziqlar va biz koordinata o'qlarini chaqiramiz va nuqta (0,0) koordinatalarning kelib chiqishi .
Nuqta chiziqqa tegishli ekanligini aytamiz, agar u uning nuqtalaridan biri bo'lsa, ya'ni. uning koordinatalari to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi.
Ushbu aksiomatikaning izchilligini aniqlash uchun yuqoridagi barcha aksiomalar mos keladigan ishonchli nazariya doirasida Evklid fazosining modelini qurish kifoya. Ishonchli nazariya sifatida arifmetikani olaylik.
Keling, asosiy tushunchalarni shunday aniq tushunish bilan ular uchun mansublik va parallellik aksiomalari qanoatlantirilishini ko'rsatamiz.
Aksiomada aytilishicha, ikkita nuqta orqali chiziq chizish mumkin, bundan tashqari, faqat bitta. Bu aksioma bajarildi. Haqiqatan ham, ruxsat bering va ball beriladi. Tenglama orqali berilgan to'g'ri chiziq bu nuqtalardan o'tadi, chunki ularning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi. Keling, chiziq noyob ekanligini isbotlaylik. Keling, nuqtalar orqali aytaylik va ikkita to'g'ri chiziq chizilgan : , . Bu ikki tenglamalar sistemasi ikkita yechimga ega bo'lgani uchun va , tenglamalar bog'liq, ya'ni. faqat multiplikatorda farqlanadi. Va bu chiziqlar bir-biriga mos kelishini anglatadi.
bir chiziqda kamida ikkita nuqta borligi aksiomadir va chiziqda yotmaydigan uchta nuqta mavjud .
Keling, bu aksioma bajarilganligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, to'g'ri chiziq tenglamasi bo'lsin. Keyin koeffitsientlardan kamida bittasi yoki noldan farq qiladi, masalan, . Keling, ixtiyoriy raqamlarni va ( ) ni olamiz va raqamlarni topamiz va va formulalardan foydalanamiz . ( ) va ( ) nuqtalar bizning chiziqda yotadi.
Keling, bir to'g'rida yotmaydigan uchta nuqta mavjudligini isbotlaylik. (0,0), (0,1), (1,0) nuqtalarini oling. Bu uch nuqta bir chiziqda yotmaydi. Haqiqatan ham, ular qandaydir chiziqda yotishdi deylik . To'g'ri chiziq tenglamasiga nuqtalar koordinatalarini qo'yib, ketma-ket , , ni olamiz . Lekin oxir-oqibat . Biz qarama-qarshilikka keldik. Da'vo isbotlangan.
Keling, parallel aksiomaning qoniqarliligini tekshiramiz. Chiziqdan tashqarida yotgan nuqta orqali unga ko'pi bilan bitta chiziq o'tkazish mumkinligini isbotlaylik . Aytaylik, ikkita shunday chiziq bor va nuqtadan o'tuvchi va berilgan chiziqqa parallel, ya'ni. uni kesib o'tmaslik. Keling, tizimlarni yarataylik:

Ikkala tizim ham mos kelmaydi, ya'ni. yechimlari yo'q. Shuning uchun , . Demak , va tizim yechimga ega bo'lganligi sababli, uning tenglamalari bog'liq, ya'ni. faqat multiplikatorda farqlanadi. Va bu chiziqlar taxminga zid ravishda mos kelishini anglatadi. Shunday qilib, aksiomaning qoniqarliligi isbotlangan.
Qolgan aksiomalarning haqiqiyligi xuddi shunday tekshiriladi.