Mundarija. Kirish I. bob. Bessel funksiyalari. Telegraf tenglamasi

5. Bessel funksiyalarining ortogonalligi va ularning ildilari.
Ushbu

Tenglamani tekshirmiz , bunda noldan farqli ixtiyoriy o’zgarmas, o’zgaruvchi o’rniga yangi o’zgaruvchi kiritamiz. U holda (1.1.22) tenglama

Bessel tenglamasiga almashadi. Demak, funksiya

Tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi. Bu tenglamani ga bo’lib,

Ko’rinishda yozib olamiz. ning ikkita qiymatlarini olib, ularga mos tenglamalarni yozib olamiz:


Bu tengliklardan birinchisini ga, ikkinchisini ga ko’paytrib va biridan ikkinchisini ayirib, quyidagi englikni hosil qilamiz:


Agar (1.1.6) formuladan va (1.1.20) formulalarning ikkinchisidan foydalansak, (1.1.23) tenglikdagi kvadrat qavs ichidagi ifodani ning darajalari bo’yicha qatorga yoyish mumkinlagiga va bu yoyilmadagi ning eng kichik darajasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunga asosan, agar bo’lsa , da bu ifoda nolga teng bo’ladi. Buni e’tiborga olib, (1.1.23)tenglikni biror chekli oraliq bo’yicha integrallaymiz, va tengliklarga binoan:


Xususiy bo’lgan holda, bu formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:


Endi da Bessel funksiyasi kompleks ildizlarga ega bo’lmasligini ko’- satamiz. Faraz qilaylik, u kompleks ildizga ega bo’lsin, shu bilan birga
Bessel funksiyasini ifodalovchi (1.1.6) yoyilmaning hamma koeffitsiyentlari haqiqiy bo’lgani uchun funksiya kompleks ildizdan tashqari qo’shma
ildizga ham ega bo’lishi kerak. (1.1.25) formulada va deb hisoblaymiz, bolgani uchun

bo’ladi. Ko’rilayotgan holda va miqdorlar qo’shma kompleks, ya’ni

bo’ladi, demak,

Bunga asosan, o’zgaruvchi 0 dan 1 gacha oraliqda o’zgarayotganligi uchun

Bu qarama- qarshilik funksiya kompleks ildizga ega, degan farazimizni noto’g’ri ekanini ko’rsatamiz.
funksiya sof mavhum (ya’ni )ildizga ham ega bo’lishi mumkin emas. Haqiqatdan ham ni (1.1.6) formulaga qo’yib, faqat musbat ildizlarni o’z ichiga olgan yoyilmaga ega bo’lamiz:

chunki ( formulada gamma funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladi. Endi funksiyaning haqiqiy ildizlarga ega bo’lishini ko’rsatamiz. Shu maqsadda Bessel funksiyasining (1.1.21) asimptotik yoyilmasini qaraymiz:

Bu formulaga asosan, o’zgaruvchi o’qining musbat qismi bo’lib cheksizlikka intilganda kvadrat qavs ichidagi ikkinchi qo’shiluvchi nolga intiladi, birinchisi esa -1 dan +1ga cheksiz ko’p marta o’zgaradi, demak, cheksiz ko’p marta nolga aylanadi. Bundan darhol funksiyaning cheksiz ko’p haqiqiy ildizga ega ekani kelib chiqadi. Shunday qilib, quyidagi xulosaga keldik:

Shu bilan birga, yana shuni uqtirib o’tamizki, (1.1.6) yoyilmada ni yig’indi belgisidan tashqariga chiqarib yoysak, yig’indi ning faqat juft darajalarini o’z ichiga oladi, bundan darhol ning ildizlari absolyut qiymati bo’yicha juft-juft bir xil, ishorasi bo’yicha qarama-qarshiligi kelib chiqai. Shuning uchun ham musbat ildizlarni qarash yetarladir.
Ushbu

Tenglamaning har xil musbat ildizlari bo’lsin, belgilashlarni kiritamiz. U holda (1.1.24) formuladan bevosita quyidagi Bessel funksiyalarining ortogonallik xossasi kelib chiqadi:

Endi bo’lsin, bunda ρ – (1.1.26) tenglamaning musbat ildizi. (1.1.24) formulada deb, ni esa, ga intiluvchi o’zgaruvchi deb hisoblaymiz. U holda

Bu tenglik o’ng tomoni da aniqmaslikka aylanadi, chunki suati ham maxraji ham nolga intiladi. Bu aniqmaslikni Lopitalqoidasi bo’yicha ochib,

tenglikka ega bo’lamiz.
(1.1.20) formulaning ikkinchisida desak, son (1.1.26) tenglamaning ildizi bo’lgani uchun

Tenglikni hosil qilamiz va (1.1.28) formula

ko’rinishida yoziladi.
Shunday qilib, biz quyidagi formulaga ega bo’lamiz:


Bu yerda va tenglamaning musbat ildizlari.