Mundarija. Kirish I. bob. Bessel funksiyalari. Telegraf tenglamasi

3. Turli indeksli Bessel funksiyalari orasidagi munosabatlar. Ixtiyoriy uchun ushbu

formulalar o’rinlidir. Xuddi shunga o’xshash formulalar ikkinchi turdagi mos funksiyalar uchun ham to’g’ri bo’ladi.
(1.1.14) formula o’rniga uning (1.1.6) ifodasini qo’yish natijasida darhol kelib chiqadi. Haqiqatdan ham,



Xuddi shunga o’xshash (1.1.15)formula isbotlanadi. Agar (1.1.15) formulada ni bilan almashtirib,

tenglikka ega bo’lamiz. Avvalo ni kasr hisoblab,(1.1.14) ni ga, (1.1.16) ni ga ko’paytirib, hosil bo’lgan ifodalarni birini ikkinchisidan ayiramiz. U holda formulalarni e’tiborga olsak

Yoki

Tenglik hosil bo’ladi.
(1.1.14) da ni ga almashtirsak

Formulaga ega bo’lmiz.
Endi (1.1.15)ni ga ga ko’paytirib ularni ayirsak,
tengliklarga asosan, kasr lar uchun

formulaga ega bo’lamiz.
Butun lar uchun (1.1.17),(1.1.19) formulalar ni butun songa intiltirib, limitga o’tish natijasida hosil bo’ladi. (1.1.14) va (1.1.15) formulalarning natijasi sifatida quyidagi formulalar kelib chiqadi.


(1.1.20)

Bu formulalarning keying 2tasi (1.1.14)va (1.1.15) ni bevosita differensiallash natijasida keying ikkitasi esa avvalgilarini qo’shish va ayirish natijasida hosil bo’ladi.
Xuddi shunday formulalar ikkinchi tur formulalar uchun ham o’rinli bo’ladi.
4. Bessel funksiyalarining ayrim xususiy hollari.
Matematik fizikada ushbu

Bessel funksiyalari eng ko’p uchraydi.
(1.1.20) formulalarning oxirgisidan ko’rinyaptiki, va h.k. funksiyalarni hisoblash funksiyalarning mos qiymatlarini hisoblashga keladi. Endi bunda - butun son, funksiyani qaraymiz.Avvalo funksiyalarning qiymatlarini hisoblaymiz. (1.1.6) ga asosan

Ma’lumki,

Shunday qilib,

bu yerda oxirgi yig’indi ning darajali qatorga yoyilmasidan iboratdir. Demak,

Xuddi shunga o’xshash, (1.1.9) dan

tenglikni hosil qilamiz.
(1.1.20) formulalarning oxirgisiga asosan



Umuman, Bessel funksiyasi butun da elementar funksiyalar orqali ifodalanadi, ya’ni quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Bu yerda ga nisbatan - darajali ko’phad, esa, darajali ko’phad, shu bilan birga . Bundan, ning katta qiymatlarida Bessel funksiyasining assimptotik ifodasi krlib chiqadi:

Bu yerda orqali tartibi bo’lgan miqdor belgilangan.
Eslatib o’tamizki, (1.1.21) assimptotik formula faqat da emas, balki ning barcha qiymatlarida ham o’rinli bo’ladi.