Mundarija. Kirish I. bob. Bessel funksiyalari. Telegraf tenglamasi

Izoh. kasr bo’lganda lar uchun funksiya, umunan aytganda, mavhum qiymatlarni qabul qiladi. Mavhun qiymatlar bilan ish ko’rmaslik uchun ni lar uchun tekshiramiz. (1.1.1) tenglamada ishtirok etayotganligi tufayli yuqoridagi mulohazalar ni bilan almashtirganda ham (1.1.1)tenglamaning yechimiga olib keladi. (1.1.6) da ni ga almashtirsak

funksiya hosil bo’ladi.
funlsiya ham birinchi turdagi indeksli Bessel funksiyasi deyiladi.
va funksiyalar indeks butun bo’lmaganda chiziqli bog’liq bo’lmaydi, chunki bu funksiylarni ifodalovchi (1.1.6) va (1.1.9) qatorlarning boshlang’ich hadlari noldan farqli koeffisentlarga ega bo’lib, ning turli darajasini o’z ichiga oladi. Shunday qilib, butun bo’lmagan indeks uchun (1.1.6) tenglamaning umumiy yechimi quyidgidan iborat.

Bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmaslar.
2.Ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari. Agar butun son bo’lsa lar uchun ifoda nol yoki manfiy butun qiymatlarga teng bo’ladi. Demak, ning bu qiymatlarida bo’ladi, shuning uchun ham (1.1.10) qatorning mos hadlarini nolga teng deb hisoblaymiz. Shunday qilib butun lar uchun

Yoki, desak,

Demak, butun son bo’lgan holda (1.1.11) ga asosan va funksiyalar chiziqli bog’liq bo’ladi, ya’ni bu holda, aslini olganda (1.1.1) bitta xususiy yechimga ega bo’ladi. Shuning uchun (1.1.10) Bessel tenglamasining umumiy yechimi bo’la olmaydi. (1.1.1) tenglamaning ikkinchi xususiy yechimini aniqlash uchun kasr lar uchun (1.1.10) dan o’zgarmaslarni maxsus tanlab, ushbu

Funksiyani tuzamiz. butun bo’lganda (1.1.12) formulaning surati
ga teng bo’lib, bu ifoda (1.1.11) ga asosan nolga teng, maxraji ham nolga teng bo’ladi, ya’ni (1.1.12) aniqmaslikdan iborat bo’ladi. ni butun songa intiltirib, bu aniqmaslikni ochamiz. Lopital qoidasiga asosan



Oxiridagi ifodada o’rniga ularni ifodalovchi (1.1.6), (1.1.9) qatorlarni qo’yib, bo’yicha differensiallab, so’ngra o’rniga butun sonni qo’ysak, bir qator hisoblashlardan keyin, quyiagini hosil qilamiz:


Bu yerda Eyler o’zgarmasidir. Xususiy bo’lgan holda

funksiyani bo’lganda (1.1.1) tenglamaga qo’yib haqiqatdan ham bu tenglamaning yechimi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shu bilan birga va funksiyalarning chiziqli bog’liq bo’lishi mumkin emas, chunki bulardan birinchisi da chekli qiymatga ega, ikkiknchisi esa cheksizlikka aylanadi. Demak, funksiya (1.1.1) tenglamaning ikkinchi xususiy yechimi bo’ladi.
(1.1.13) formula bilan aniqlangan funksiya ikkinchi turdagi tartibli Bessel funksiyasi yoki Veber funksiyasi deyiladi.
Bessel tenglamasining butun bo’lganda umumiy yechimi ushbu

formula bilan aniqlanadi. Bunda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar.