Mundarija. Kirish I. bob. Bessel funksiyalari. Telegraf tenglamasi

2.2 Koshi masalasini Bessel funksiyasi yordamida yechish.
O’zgarmas koeffisientli tenglama.

(U(M)=

(d (10) -fomulaning tadbiqiga misol sifatida tor tebranish tenglamasi uchun boshlang’ich shartli


(y=at, )

u(x,o)=

( = )

Ni qaraymiz . (10) formuladagi PQ yoy y=0 o’qdagi kesma bo’ladi.

Operator o’z o’ziga qo’shni bo’lad , chunki

a=0 va b=0 bo’lganligi uchun V funksiya MP va MQ xarakteristikalada biga teng boladi.
Bundan esa PMQ uchburchakning ichidagi istalgan M’ nuqta uchun

bo’ladi. Bizning holda
PQ da .
ekanligini inobatga olib ,

ni hosil qilmiz.
P=P(x=y,0), Q=Q(x+y,0), va bu yerda x va y lar M=M(x,y) nuqta koordinatalari ; ekanligini inobarga olib va boshlang’ich shartlardan foydalanib ,


ga ega bo’lamiz.

x va t o’zgaruvchilarga qaytib

Dalanber formulasini hosil qilamiz.

Ikkinchi misol sifatida o’zgarmas koeffisientli tenglama uchun
boshlang’ich shartli
+cu=0,
- (2.2.1)
Masalani qaraymiz (a,b,c,-o’zgarmas sonlar )



.

(2.2.1) tenglamaga (2.2.4).

almashtirish olib uni

,
(2.2.5).
Ko’rinishdagi soda shaklga keltirish mumkin , bunda
U =
- (2.2.2’)

- (2.2.3’)
Qo’shimchashartlarga ega bo’lib ,yuqoridagilarni hosil qilish uchun

, (2.2.6).
kabi olishkerak.
U(x,y) funksiyani dastlabki ma’lumotlar va (2.2.5) tenglama bilan
V(x,y, Riman funksiyasiga qo’shimcha olib kelinadi Vfunksiya

MP xarakteristikada =1 (2.2.8).
MQ xarakteristikada =1
shartlarni qanoatlantirishi kerak
funksiyani .

kabi izlaymiz , bu yerda

z= yoki , (2.2.10).
MP va MQ xarakteristikalarda z o’zgaruvchi nolga aylanadi., shu sababli

So’ngra (2.2.7) tenglamaning chap tomoni
.
kabi yoziladi.
uchun ifodani x va y bo’yicha 2 marta diffrensiallab


.

+

ni hosil qilamiz.

Bundan va (2.2.10) formuladan
- =1 =
ni hosil qilamiz.

+
ko’rinishni oladi.
Bu tenglamani yechimi nolinchi tartibli Bessel funksiyasi bo’ladi.

) yoki
, (2.2.11)
U(x,y) ni topish uchun bizning holda ,
U(M)= (2.2.12).
Ko’rinishda bo’lgan f ormuladan foydalanamiz.
Integralni PQ=( kesma bo’yicha hisoblaymiz.


. (2.2.13).
(2’ va 3’) boshlang’ich shartlardan foydalanib
(2.2.14)
ni topamiz ,bundan (4) ,(2’) va (3’) ga ko’ra berilgan masala yechimini aniqlaydigan


. (2.2.15)
Formulani hosil qilamiz.
a=0 , b=0 xususiy hollarni qaraymiz.ya’ni
tenglamani qaraymiz. (2.2.15) formuladan
y (2.2.16)

ni hosil qilamiz. Bu yerda va y=at deb olib ,

u(x,t)= (2.2.17)
Dalamber formulasiga kelamiz .
Bu esa


Boshlang’ich shartda
Tor tebranish tenglamasini yechimini beradi.


Xulosa.
Ikkinchi bobni umumlashgan Koshi masalasining qo’yilishi va tadqiq etilishi deb nomladik bu bob ham ikki qismdan iborat bo’lib, bu qismlar bitiruv malakaviy ishning mohiyatini ochishga xizmat qiladi.Birinchi qismda bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan tor tebranish tenglamalariga sohada Koshi masalasini qo’yish natijasida Dalamber formulasi keltirib chiqarilgan va tebranuvchi tenglama uchun umumlashgan Koshi masalasining yechimini qurish yig’ma operatsiyasi yordamida ko’rsatilgan.
To’lqin operatorining fundamental yechimi va bo’lganda isboti bilan keltirilgan.
Bobning ikkinchi qismida bitiruv malakaviy ishning asosiy qismi yoritib berilgan ya’ni telegraf tenlamasi uchun umumlashgan Koshi masalasining yechimini hosil qilish bayon etilgan.