Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

Ko’pyoqlar ²
Umumiy ma’lumot
Tekisliklar bilan chegaralangan jism ko’pyoq deyiladi. Ko’pyoqni chegaralovchi tekisliklarning kesishuv chiziqlari qirralari deb, tekisliklarning qirralar orasidagi qismlari yoqlari deb, qirralarning kesishuv nuqtalari esa ko’pyoqning uchlari deb ataladi. Ko’pyoqning bir yoqida yotmagan ikki uchini birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlar shu ko’pyoqning diagonallari deyiladi.
Agar ko’pyoq har qaysi yog’i tekisligining faqat bir tarafida joylashgan bo’lsa, bunday ko’pyoq qavariq ko’pyoq deyiladi. Biz faqat qavariq ko’pyoqlar ustidagina to’xtalamiz.
Agar ko’pyoqniig hamma qirralari, yoqlari, ikki yoqli va ko’p yoqli burchaklari o’zaro teng bo’lsa, bunday ko’pyoq, muntazam ko’pyoq deyiladi.
Muntazam ko’pyoqlar soni beshta:
1) tetraedr — to’rtta teng tomonli uchburchakdan yasaladi;
2) oktaedr — sakkizta teng tomonli uchburchakdan yasaladi;
3) ikosaedr — yigirmata teng tomonli uchburchakdan yasaladi;
4) kub — oltita kvadratdan yasaladi;
5) dodekaedr — o’n ikkita muntazam beshburchakdan yasaladi.
Bu ko’pyoqlarning hammasi atrofida sharlar chizish mumkin ³.
Ma’lumki, ko’pyoqning yoqlaridan biri ko’pburchak bo’lib, qolgan yoqlari umumiy uchga ega uchburchaklar bo’lsa, bunday ko’pyoq piramida deyiladi. Ko’pburchak piramidaning asosi deb ataladi.
Agar, birinchidan, piramidaning asosi muntazam ko’pburchak bo’lsa va, ikkinchidan, piramidaning balandligi shu ko’pburchakning markazidan o’tsa, bunday piramida muntazam piramida deyiladi.
Ma’lumki, ko’pyoqning ikki yog’i — mos tomonlari bir-biriga parallel bo’lgan teng ko’pburchaklardan iborat bo’lib, dolgan yoqlari parallelogrammlar bo’lsa, bunday ko’pyoq prizma deyiladi. Prizma yon qirralarining asosiga perpendikulyar yoki qiya bo’lishiga qarab, to’g’ru yoki og’ma prizma deb ataladi. Asoslari muntazam ko’pburchaklardan iborat bo’lgan to’g’ri prizma muntazam prizma deyiladi. Asoslari parallelogrammlardan iborat prizma parallelepiped deb ataladi. Texnikada va qurilishda piramida va prizma shaklidagi ko’pyoqlardan ko’proq foydalaniladi.
Ko’pyoq uchlarining vaziyati va ularning tutashtirilish tartibi berilgan bo’lsa, ko’pyoq ma’lum deb hisoblanadi. Shunga ko’ra, ko’pyoqni eshorda tasvirlash uchun uning hamma uchlarining proyeksiyalari berilishi va ko’rsatilgan tartibda o’zaro tutashtirilgan bo’lishi lozim. shaklda og’ma piramidaning proyeksiyalari, 180-shaklda esa og’ma prizmaning proyeksiyalari ko’rsatilgan.
Prizmaning yon qirralari o’zaro parallel chiziqlar bo’lganligidan ularning bir nomli proyeksiyalari ham o’zaro parallel bo’ladi (2-rasmda A′D′ || B′E′ || C′F′; A″D″ || B″E″ || C″F″).
Ko’pyoqning har qaysi proyeksiyasida uning ba’zi uchlari, qirralari va yoqlari ko’rinar, ba’zilari esa ko’rinmas bo’ladi. Epyurda ko’pyoqning ko’rinar qirralari tutash chiziqlar bilan, ko’rinmas qirralari shtrix chiziqlar bilan chiziladi. Kamida bitta ko’rinmas qirra bilan chegaralangan yoq ko’rinmas bo’ladi (masalan, 1-rasmdagi gorizontal proyeksiyada B′C′S′ yoq ko’rinmasdir).

1-rasm. 2-rasm.
Qirralarning har qaysi proyeksiyada ko’rinar yoki ko’rinmasligini belgilash uchun tubandagi qoidalardan foydalanish mumkin:
Har qanday kontur ko’rinadi. Shuning uchun konturni belgilovchi har bir qirra ko’rinar va ko’rinmas yoqlarning kesishuv chizig’idir. Masalan, 179-shakldagi gorizontal proyeksiyada A′B′S′C′A′ kontur ko’rinadi, A′B′, B′S′, S′C′, S′A′ qirralar ko’rinar va ko’rinmas yoqlarning kesishuv chizig’idir.
Konturga oid bo’lmagan qirradagi biror nuqta ko’rinar bo’lsa, qirra ham ko’rinar, nuqta ko’rinmas bo’lsa, qirra ham ko’rinmasdir.
Agar kontur ichida ko’pyoqning ikkita uchrashmas qirrasi proyeksiyalari kesishgan bo’lsa, hamma vaqt ulardan biri ko’rinar, ikkinchisi esa ko’rinmas bo’ladi. Masalan, 1-rasmdagi gorizontal proyeksiyaning konturi ichida A′S′ ko’rinar, A′C′ esa ko’rinmasdir.
Kontur ichidagi ko’rinar uchdan chiqqan qirralarning hammasi ko’rinar, ko’rinmas uchdan chiqqanlari esa ko’rinmas bo’ladi. Masalan, 2-rasmdagi A′B′E′F′C′A′ kontur ichidagi D′ proyeksiya ko’rinar nuqtadir, shuning uchun D′A′, D′E′, D′F′ proyeksiyalar ham ko’rinar bo’ladi.
Ko’pyoqning yoqlaridan birida yotgan nuqtaning proyeksiyalarini yasash uchun o’sha nuqtadan o’tgan va ko’pyoqning tegishli yog’ida yotgan birorta to’g’ri chizyqdan foydalanish mumkin. 1-rasmda piramidaning ACS yog’ida yotgan K nuqtaning proyeksiyalari piramidaning uchidan va K nuqtadan o’tgan SM to’g’ri chiziq yordami bilan yasalgan. 2-rasmda prizmaning ABED yog’ida yotgan K nuqtaning proyek­siyalari shu nuqtadan o’tgan va prizmaning yon qirralariga parallel bo’lgan KM to’g’ri chiziq kesmasi yordamida yasalgan. Masalan, priz­maning ABED yog’ida yotgan K nuqtaning frontal proyeksiyasi (K″) berilgan, nuqtaning gorizontal proyeksiyasini topish kerak bo’lsin. Bu holda yordamchi to’g’ri chiziqning avval frontal proyeksiyasi (K″M″), keyin bu to’g’ri chiziqniig gorizontal proyeksiyasi (K′M′) yasaladi va unda nuqtaning gorizontal proyeksiyasi topiladi. Frontal proyek­siyada K″M″ || A″D″ bo’lgani uchun K′M′ || A′D′ bo’ladi.