Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

14-mavzu.
Ko’pyoqlarning o’zaro kesishuvi. Sirtlarni yoyish.
Ko’pyoqlarning o’zaro kesishuvi. Ikki ko’pyoqning o’zaro kesishuv chizig’i siniq chiziq bo’lib, bu chiziq ko’pyoqlar yoqlarining kesishuv chiziqlaridan hosil bo’ladi.
Ko’pyoqlarning o’zaro kesishuv chizig’ini yasash uchun avval birin­chi ko’pyoq qirralarining ikkinchi ko’pyoq yoqlari bilan uchrashuv nuqtalarini, keyin ikkinchi ko’pyoq qirralarining birinchi ko’pyoq yoqlari bilan uchrashuv iuqtalarini topish va ularni tartibli ravishda o’zaro tutashtirish kerak.
Fazoda bir-biriga nisbatan olgan vaziyatlariga qarab, ko’pyoqlar o’zaro bir siniq chiziq bo’yicha, ikki alohida siniq chiziq bo’yicha, ba’zan esa bir yoki ikki umumiy nuqtali ikki siniq chiziq bo’yi­cha kesishuvi mumkin.
Ko’pyoqlarning o’zaro kesishuv chiziqlarini yasashda tubandagi tartibga rioya qilish tavsiya etiladi:
1) har qaysi ko’pyoqning ko’rinar va ko’rinmas qirralarini aniqlash va ularning ko’rinadiganlarini tutash chiziq bilan, ko’rinmaydiganlarini esa shtrix chiziq bilan chizish lozim;
2) har qaysi ko’pyoqning boshqasi bilan kesishmaydigan qirralarini aniqlab olish zarur;
3) birinchi ko’pyoq qirralarining ikkinchi ko’pyoq yoqlari bilan uchrashuv nuqtalarini topish kerak;
4) ikkinchi ko’pyoq qirralarining birinchi ko’pyoq yoqlari bilan uchrashuv nuqtalarini topish lozim;
5) birinchi ko’pyoqning bir yog’ida yotgan va bir vaqtda ikkinchi ko’pyoqning ham bir yohida yotgan ikki nuqtanigina to’g’ri chiziq kesmasi bilan o’zaro tutashtirish mumkin. Shu tartibda topilgan barcha nuqtalar bir-biri bilan tutashtirilsa, ko’pyoqlarning o’zaro ke­sishuv chizig’i hosil bo’ladi;
6) kesishuv chizig’ining ko’rinar qismini tutash chiziq bilan, ko’rinmas qismini esa shtrix chiziq bilan chizish kerak;
7) ko’pyoqlarning ko’rinish-ko’rinmasligi (har qaysi proyeksiyada alohida) aniqlanadi va ularning ko’rinar kismlari tutash chiziq bilan, ko’rinmas qismlari esa shtrix chiziq bilan chiziladi.
Misol tariqasida, 12-rasmda muntazam to’rt burchakli kesik piramida bilan uch burchakli prizmaning kesishuvi tasvirlangan. Piramidaning asosi N tekislikda turibdi, prizmaning asosi esa gorizontal proyeksiyalovchi tekislikdadir, shuning uchun ularning asoslari o’zaro kesishmaydi. Demak, ko’pyoqlarning o’zaro kesishuv chiziqlarini yasash uchun faqat har qaysi ko’pyoq yon qirralarining ikkinchi ko’pyoq yoqlari bilan uchrashuv nuqtalai topilsa kifoya.
Avvalo piramida yon qirralarining prizma yoqlari bilan uchra­shuv nuqtalarini topamiz. Buning uchun piramidaning AF va CH qirralari orqali gorizontal proyeksiyalovchi P tekislik o’tkazamiz (uning izi P_H). Bu tekislik prizmani beshburchak (α′β′γ′δ′ε′, α″β″γ″δ″ε″) bo’yicha kesadi. Beshburchakning frontal proyeksiyasi (α″β″γ″δ″ε″) bi­lan tekislik o’tkazilgan qirralarning frontal proyeksiyalari (A″F″ va C″h″) kesishib, 1″, 2″ va 3″, 4″ nuqtalarni hosil qiladi; shundan keyin ular bo’yicha gorizontal proyeksiyadagi 1′, 2′ va 3′, 4′ nuqtalarni topamiz.

12-rasm.
Endi (1′, 1″), (2′, 2″), (3′, 3″) va (4′, 4″) nuqtalar piramidaning qaysi yoqlarida va prizmaning qaysi yoqlarida yotganligini aniqlaymiz, chunki bu narsa kesishuv chizig’ini tozish uchun kerak bo’ladi. (1′, 1″) va (2′, 2″) nuqtalar AF qirrada bo’lgani uchun ular piramidaning ABGF va ADJF yoqlarida yotadi: bu hol gorizontal proyeksiyada ayniqsa ravshan ko’rinib turibdi. Ikkinchi tomondan, (1′, 1″) nuqta prizmaning KLMN yog’ida, (2′, 2″) nuqta esa prizma­ning KLST yog’ida yotibdi, bu hol frontal proyeksiyada ayniqsa yaqqol ko’rinib turibdi. Xuddi shunga o’xshash, (3′, 3″) va (4′, 4″) nuqtalar CH qirrada bo’lgani uchun ular piramidaning BCHG va CDJH yoqlarida yotadi, shuning bilan birga, (3′, 3″) nuqta prizma­ning KLMN yog’ida, (4′, 4″) nuqta esa prizmaning MNTS yog’ida yotadi.
Proyeksiya tekisliklarining har qaysisida nuqtalarning ko’rinish-ko’rinmasligini aniqlaymiz. Birinchi nuqtaning gorizontal proyeksiyasi (1′) ko’rinar A′F′ qirra bilan ko’rinar K′L′M′N′ yoqning kesi­shuv nuqtasida, shuning uchun u ko’rinadi. Birinchi nuqtaning frontal proyeksiyasi (1″) ko’rinar A″F″ qirra bilan ko’rinar K″L″M″N″ yoqning kesishuv nuqtasidir, shuning uchun u ham ko’rinadi.
Ikkinchi nuqtaning proyeksiyalari (2′ va 2″) ko’rinar qirraning ko’rinmas yoq bilan kesishuv nuqtalari bo’lgani uchun ular ko’rinmaydi. Xuddi shu tartibda, uchinchi nuqtaning ikkala proyeksiyasi ko’rinar ekanligini, to’rtinchi nuqtaning gorizontal proyeksiyasi ko’rinmas, frontal proyeksiyasi esa ko’rinar ekanligini aniqlaymiz.
Piramidaning yon qirralari (EG va DJ) orqali o’tgan gorizon­tal proyeksiyalovchi tekislik bilan prizmaning kesilishini yasab (shaklda ko’rsatilmagan), BG qirraning prizmani kesmasligini, DJ qirraning esa prizmani (5′, 5″) ga (6′, 6″) nuqtalarda kesishini bilib olamiz. Endi prizma yon qirralarining piramida yoqlari bilan uchrashuv nuqtalarini topamiz. Buning uchun prizmaning qirralaridan o’tgan gorizontal proyeksiyalovchi tekisliklardan foydalanamiz. Epyurda shunday tekisliklardan faqat birining gorizontal izi (Q_H) ko’rsatilgan. Bu tekislik prizmaning TS qirrasidan o’tadi va piramidaning yoqlarini λ′μ′r′υ′, λ″μ″r″υ″ chiziq bo’yicha kesadi. Bu chiziq, bilan (t′s′, t″s″) qirra kesishib, (7″, 7′) va (8″, 8′) nuqtalarni hosil qiladi. Xuddi shu tartibda, prizmaning KL qirrasida (9″, 9′) va (10″, 10′) nuqtalarni topamiz. Prizmaning MN qirrasi piramida bilan kesishmaydi (buni o’zingiz tekshirib ko’ring).
(1′, 1″) n – uqta bilan (5′, 5″) nuqta KLMN va AGJF yoqlarda yotibdi, shuning uchun ularni o’zaro tutashtirish mumkin. Bu nuqtalar ko’rinar bo’lganligi uchun 1′–5′ va 1″–5″ chiziqlar ham ko’rinar bo’ladi. (5′, 5″) nuqta bilan (3′, 3″) nuqta KLMN va CDJH yoqlarda yotibdi, shuning uchun ularni ham o’zaro tutashtirish kerak. 3′–5′ va 3″–5″ chiziqlar ham ko’rinadi. Shu yo’sinda, nuqtalarning tutashtirish tartibini belgilaymiz: 1. 5. 3, 10, 8, 4, 6, 7, 2, 9, 1 (chiziq bekildi). Binobarin, yasalgan bu siniq chiziq ko’pyoqlarning o’zaro kesishuv chivig’i bo’lib, fazoviy siniq chiziqdir.
Pirovardida shuni ham ko’rsatib o’tish kerakki, ko’pyoqlar xususiy turlarining o’zaro kesishuv chizig’ini yasashda, yuqorida keltirilgan misoldagiga o’xshash proyeksiyalovchi tekisliklardan foydalanmay, boshqacha vaziyatdagi yordamchi tekisliklardan ham foydala­nish mumkin. Masalan, ikki piramida kesishganda yordamchi tekisliklarni shu piramidalarning uchlaridan o’tkazib olish, ikki prizma o’zaro kesishganda yordamchi tekisliklarni shu prizmalarning yon qirralariga parallel qilib o’tkazish, piramida bilan prizma kesish­ganda esa piramidaning uchidan o’tgan va prizmaning yon qirralariga parallel bo’lgan yordamchi tekisliklardan foydalanish qulay.