Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

Konus kesimlari
Ikkinchi tartibli konus sirtning tekislik bilan kesilishidan hosil bo’ladigan chiziqlar konus kesimlari deyiladi.
Bu chiziqlar jumlasiga aylana, ellips, parabola, giperbola va ikki kesishgan to’g’ri chiziq kiradi.
Yasashni osonlashtirish maqsadida, ikkinchi tartibli ko­nusning xususiy turi bo’lgan to’g’ri doiraviy konus ola­miz va uning qanday tekislik bilan kesilganda yuqorida aytilgan chiziqlardan qaysi biri hosil bo’lishini ko’rib chiqamiz.
Agar kesuvchi tekislik konusning o’qiga perpendiku­lyar bo’lsa, kesim chizig’i ay­lana bo’ladi (29-rasm, a).

29-rasm.
Agar tekislik konus­ning uchidan o’tib, ikki yasovchisi bo’yicha kesib tushsa, kesim chizig’i ikki kesishgan to’g’ri chiziq bo’ladi (29-rasm, b).
Agar tekislik konus­ning o’qiga og’ma bo’lish bilan birga, uning hamma yasovchilaini kesib o’tsa, kesim chizig’i ellips bo’ladi (29-rasm, c).
Agar kesuvchi tekislik konusning yasovchilaridan biriga pa­rallel bo’lsa, kesim chizig’i parabola bo’ladi (29-rasm, d).
Agar kesuvchi tekislik konusning ikki yasovchisiga parallel bo’lsa, kesim chizig’i giperbola bo’ladi. Xususiy holda bunday ke­suvchi tekislik konusning o’qiga parallel bo’lishi mumkin (29-rasm, e).
Ma’lumki, konus sirt chiziqli sirtlardandir. Shunga ko’ra, ko­nus sirt bilan har qanday tekislikning kesishuv chizig’ini yasash uchun uning bir necha yasovchisini kesuvchi tekislik bilan uchrashuv nuqtalarini topib, so’ngra ularni tartibli ravishda o’zaro tutashtirish kerak.
Tubanda konus kesimlaridan ellipsning, parabolaning va giper­bolaning proyeksiyalarini hamda ularning haqiqiy ko’rinishlarini yasashga misollar keltirilgan.

30-rasm.


Ellips. 30-rasmdagi gorizontal proyeksiyalar tekisligida turgan to’g’ri doiraviy konusning sirtini frontal proyeksiyalovchi P tekislik ellips bo’yicha kesadi. Bu ellipsning frontal proyek­siyasi kesuvchi tekislikning frontal izida 1″2″ kesma, gorizontal proyeksiyasi esa ellips bo’ladi. Gorizontal proyeksiyadagi ellipsga oid nuqtalarni topish uchun konusning yasovchilaridan foydalanilgan. Frontal proyeksiyalari konus o’qining frontal proyeksiyasiga to’g’ri kelgan 3″, 4″ nuqtalarning gorizontal 3′, 4′ proyeksiyalarigina konusning sirtini o’sha nuqtalardan o’tgan aylana bo’yicha kesuvchi Q tekislik yordamida topilgan.
Kesim shaklining haqiqiy ko’rinishi (ellips) P tekislikni H tekislikka jipslashtirish yo’li bilan yasalgan.
Kesim chizig’i – ellipsning haqiqiy ko’rinishini uning katta va kichik o’qlari bo’yicha yasash ham mumkin. Ellipsning katta o’qi 1″2″ kesmaga teng, ellipsning kichik o’qi katta o’qining o’rtasidan o’tgan kesim aylanacining vatariga (5′6′ ga) teng bo’ladi.
Parabola. 31-rasmdagi H tekislikda turgan doiraviy konusning sirtini frontal proyeksiyalovchi P tekislik parabola bo’yicha kesadi. Parabolaning frontal proyeksiyasi kesma bo’ladi va tekislikning frontal iziga to’g’ri keladi, gorizontal proyek­siyasi esa parabola bo’ladi. Bu yerda parabolaning gorizontal proyeksiyasi konusning sirtini aylanalar bo’yicha kesadigan yordamchi tekisliklar vositasida yasalgan.

31-rasm. 32-rasm.
Giperbola. 32-rasmldagi doiraviy konusning sirtini frontal tekislik (P || V) giperbola bo’yicha kesa­di, chunki kesuvchi tekislik konusning AS va BS yasovchilariga hamda o’qiga paralleldir.
Giperbolaning gorizontal proyeksiyasi kesuvchi tekislikning iziga to’g’ri keladi (1–2 kesma), frontal proyeksiyasi esa haqiqiy ko’rinishi bo’ladi. Giperbolaning uchini (O″ nuqtani) topish uchun uning gori­zontal proyeksiyasi (O′ nuqta) 90° ga aylantirilib, chetki AS yasovchiga keltiriladi, keyin O′₁ O″₁ bo’yicha O″ topiladi. Giper­bola mavhum o’qiga nisbatan simmetrik joylashgan ikki tarmoqdan iborat bo’ladi. Gi­perbolaning ikkinchi tarmog’i konusning ikkinchi pallasi bilan P tekislikning kesishuvidan hosil bo’ladi (konusning ik­kinchi pallasi epyurda ko’rsatilmagan).
Agar konusni kesuvchi tekislik umumiy vaziyatdagi tekislik bo’lsa, proyeksiya tekisliklarini almashtirish yo’li bilan epyurni 30 – 32-rasmlardagi ko’rinishlardan biriga keltirish, keyin esa kesim chizig’ini yasash tavsiya qilinadi.