Муаллиф: тоғаев насрулла рўзиевич

h va a_c² ni alohida hisoblab topamiz.
ASD uchburchakdan h² q b² – b_c² topamiz. Endi a_c² ni topamiz. Bunda
a_c q c - b_c bo’lganligidan a_c² q ( c - b_c)². U holda a² q b² - b_c² Q c² – 2cb_c Qb_c² q
q b² Q c² – 2 c b_c ni hosil qilamiz. Ammo ASD uchvurchakda b_c q b cos .
Natijada quyidagini hosil qilamiz:


a² q b² Q c² – 2 b c cos .
Shuni isbot qilish kerak edi.

2 – h o l. Uchburchakning tomoni o’tmas burchak qarshisida yotgan bo’lsin.

AVS uchburchakni qarav chiqamiz, unda A burchak o’tmas burchak ( 2 – chizma ).
Uchburchakning S uchidan AV to’g’ri chiziqqa SD perpendikulyarni o’tkazamiz. Natijada ASD va VSD to’g’ri burchakli uchburchaklar hosil bo’ladi.
Pifagor teoremasiga asosan VSD uchburchakdan a² q h² Q a_c² .
AVD uchburchakdan h² q b² – b_c² ni topamiz. Endi quyidagilarni topamiz:
a_c² q ( b_c Q c )² , bundan a² q b² – b_c² Q b_c² Q 2cb_c Q c² q b² Q c² Q 2cb_c ni hosil qilamiz. Biroq ASD uchburchakda b_c q b cos( 180⁰ - ) q - b cos .
Natijada
a² q b² Q c² – 2 c b cos
ni hosil qilamiz. Teorema isbotlandi.
N a t i j a. Bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga mos ravishda teng bo’lsa, bu tomonlar orasidagi burchakla esa bir – biriga teng bo’lmasa, katta burchak qarshisida katta tomon yotadi.
Agar uchburchak ichki vurchaklari mos ravishda bo’lsa, u holda uchburchak tomonlari uchun quyidagilarni yozish mumkin:


a² q b² Q c² – 2 c b cos ;


b² q a² Q c² – 2 c a cos ;


c² q b² Q a² – 2 a b cos .
Masala. Uchburchakning ikki tomoni a q 12 va b q 8 hamda ular orasidagi burchagi S q 60⁰ ekani berilgan. Uning qolgan ikki burchagini va uchinchi tomonini toping.
Yechish. Uchinchi tomoni kosinuslar teoremasi buyicha topamiz:

Endi uchta tomongaegabo’lganimizdan keyin, kosinuslar teoremasiga ko’ra ikkita noma’lum burchakning kosinuslarini va ularning o’zini topamiz:

bundan
Sinuslar teoremasi.

Te o r e m a. Uchburchakning tomonlari qarshisidagi burchaklarning sinuslariga proporsional.

I s b o t: Tomonlari a, v, s va burchaklari A, V va S bo’lgan

uchburchakni qarab chiqamiz.
Uchburchakning yuzini hisoblash formulalarini yozamiz:

Bundan

U holda

yoki

Ҳosil qilingan tengliklardan

kelib chiqadi.

Bunda ga teng.

Teorema isbotlandi.

M a s a l a. Uchburchakning tomoni a q 5, ikkita burchagi B q 30⁰, C q 45⁰ ekani berilgan. Uning uchinchi burchagini va qolgan ikki tomonini toping.

Yechish. Uchburchak burchaklarining yig’indisi 180⁰ ga teng, shu sababli uchinchi A burchak bunday bo’ladi:

A q 180⁰ - V - S q 180⁰ - 30⁰ - 45⁰ q 105⁰ .

Bitta tomoni va uchala burchaklarninghammasini bilgan holda, sinuslar
teoremasiga ko’ra, qolgan ikki tomonni topamiz:

Sinfda yechish uchun masalalar: